hochpunkte und tiefpunkte berechnen

Question

f_a(x)=-ax³+4ax

Zeigen sie,dass alle Graphen einen Hoch und Tiefpunkt besitzen.

Ich hab Schwierigkeiten die Nullstellen von -3ax²+4a=0 zu berechnen.Das a erschwert mir das immer..

Answer 1

Annahme a≠0

-3ax²+4a=0   |:a

-3x^2 + 4 = 0

4 = 3x^2

4/3 = x^2

±2 / √3 = x_1,2 

Fall a=0

f_a(x)=-ax³+4ax = 0 für beliebige x, somit auch für x₁ und x₂ vom 1. Fall. 

Comments

Hey danke für deine Hilfe.Wenn ich jetzt die Wurzel aus -4/3 ziehe kommt kein Ergebnis raus,wenn ich jedoch deine Schreibweise benutze ergibt das bei mir -1,15 für - und 1,15 für +.In Klausuren habe ich dann das Problem da mein Taschenrechner kein Ergebnis also im negativen Fall ,dass ich die aufgabe nicht lösen kann.

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Warum willst du die Wurzel aus MINUS 4/3 ziehen?

Ich habe dort kein Minus.

4/3 = x²

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Die Frage lautet ja das ich beweisen soll dass alle Graphen einen Hoch und Tiefpunkt besitzen.Dann habe ich doch nur eine Nullstelle

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Du hast 2 Nullstellen der Ableitung deines gegebenen Polynoms 3. Grades.

Und was heisst  das nun?

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Die Nullstellen 1,15 und -1,15?Bin grade ein wenig verwirrt..wenn das der fall ist habe ich dann einen hoch und tiefpunkt ..Sind die Nulstellen richtig?

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Wenn ich die 1,15 in die Ausgangsfunktion einsetze kommt bei mir für den Y Wert  -1,663 raus..Ist das richtig?

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Bitte um kurze Rückmeldung

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"Wenn ich die 1,15 in die Ausgangsfunktion einsetze kommt bei mir für den Y Wert  -1,663 raus..Ist das richtig? "

Da gehört zumindest noch ein Faktor a dazu. 

f_a(x)=-ax³+4ax

fa'(x) = -3ax^2 + 4a

fa''(x) = - 6ax

Extremalstellen ±2 / √3 = x_1,2  einsetzen:

fa''(2/√3) = -12a/√3

fa''(-2/√3) = 12a/√3

Egal welches Vorzeichen a hat, solange a ≠ 0 haben beide 2. Ableitungen in den Extremalstellen unterschiedliches Vorzeichen. Daher ist eines ein Hochpunkt und das andere ein Tiefpunkt. qed. 

Fall a = 0 separat ansehen, falls in der Fragestellung nicht ausgeschlossen.