Zeigen, dass neutrales Element existiert

Question

Wir betrachten die Menge C = Abb(R,R) (Reelle Zahlen), also die Menge der reellwertigen Funktionen auf R. Wir führen auf C eine Verknüpfung ein durch

\( \begin{aligned}+: \quad C \times C & \rightarrow C \\(f, g) & \mapsto f+g \end{aligned} \) 

wobei (f+g)(x) := f(x) + g(x), d.h. wir definieren die Summe zweier Funktionen punktweise als Summe der Funktionswerte. Zeigen sie, dass es ein neutrales Element bezüglich + gibt.
Mein Ansatz:

\( \exists e \in C: \quad e+f=f+e=e \)
$$ e+e=e $$
\( e: R \rightarrow R \)
$$ x \mapsto 0 $$
\( (e+f)(x)=e(x)+f(x)=0+f(x)=f(x) \) 

Dies gilt weil 0 das neutrale Element der Addition ist. Kann ich das so nehmen?

Comments

Wenn du explizit so ein Element angeben kannst, existiert es auch. Das musst du dann nicht unbedingt noch zeigen.

Bsp.

n(x):= 0 für alle x Element R ist das neutrale Element bezüglich der Addition.

Nun einfach noch die Eigenschaften für neutrale Elemente überprüfen.

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also soll ich folgendes sagen?

e(x)+e(x)=e(x)

0+0=0 stimmt

Weil die andere Eigenschaft habe ich doch schon gezeigt oder nicht?

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(e+e)(x) = e(x) + e(x) = 0 + 0 = 0 = e(x) für alle x Element R.

zudem noch

(f+e)(x) = ..... = f(x)  für alle x Element R.

Das sollte dann eigentlich genug sein.

Answer 1

Das ist doch prima. Allerdings solltest du den

Hinweis von Lu befolgen und auch f+e=f nachweisen;

denn für das neutrale El. muss das ja immer beides gelten.