Betragsgleichungen bzw Ungleichungen

Question

Hallo die Angabe ist im Bild,

Meine Ansatz zu a ) ich habe hier quadriert und ausgenutzt das ein quadrat immer positiv ist also beide seiten gleich sind . Und dann (x-1)^2 = (x-3)^2 auf x augelöst und es ist 2 rausgekommen. Kann man das so machen? oder muss man sich an die fahlunterscheidung halten?

Zu b)hab ich gleicherweise wie a gemacht ;(x-1)^2 +(x-2)^2 >1^2 aufgelöst x1=2 ,x2=1

zu c) würd ich das gleich machen nur hab ich 2 kleinerzeichen verändert das was ? oder kann ich wieder die Beträge aufsplitten also |2x-1|/|3-2x| und was wie bei a machen und auflösen nach x?

Comments

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Mein Fehler sry.

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Bei der b): Wenn du die linke Seite quadrieren möchtest so musst du den gesamten Term quadrieren und nicht jeden einzelnen Summanden für sich. Ich würde dir eher zur Fallunterscheidung raten eventuell kombiniert mit sehr scharfem Hinsehen ;).

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Ok cool, a ) und b) hab ich jeweils mit quadrieren und Fallunterscheidungen gemacht  und hab das selbe ergebnis rausbekommen. Dennoch werde ich die Fallunterscheidung bevorzugen in Zukufnt :)

bei c) hänge ich gerade , Muss ich den Betrag dort Aufteilen statt |(2x-1)/(3-2x)| ;|2x-1|/|3-2x| schreiben?

Wenn ja dann würde mann dan noch immer 2 Fälle Haben?

Wie kann man das auflösen, also Wenn ich mal dem Nenner Rechner multipliziere ,muss ich das auf allen seiten machen?

Wie stellt man das dann dar? dass : ....<x<..... rauskommt?

würde mich über  eine Erklärung freuen ;)

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Nur einmal ein Test

~plot~ abs ((2*x-1)/(3-2*x)) ; 1/3 ; 1/2 ~plot~

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Ich habe die Aufgabe c.) mit 3 Fallunterscheidungen gelöst.
Die Aufgabe ist umfangreichste der 3 Aufgaben und übers
Internet in seinen Facetten wohl nicht erklärbar.

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Ok cool da sieht man nach deinen Funktion das damit alle reellen Zahlen von -0,5  bis 0 für x gemeint sind.

Welche Fallunterscheidungen hast du da angesetzt? bzw. hast du das so gemacht, das du zuerst

1/3< |(2x-1)/(3-2x)| und dann |(2x-1)/(3-2x)| <1/2 ?

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Bezüglich von Fallunterscheidungen
wird bei der Betragsfunktion unterschieden

| term |
für term > 0 = term
für term < 0 = term * (-1)

Ich habe zunächst die Nullstellen der Beträge
bestimmt und diese dann auf einem Zahlenstrahl
eingetragen. Es ergeben sich 3 Bereiche

Dann müssen die 3 Fälle untersucht werden.
Dies ist aufwendig weil das Vorzeichen von Zähler
und Nenner berücksichtigt werden muß. Zudem
ist es eine Ungleichungskette die auch noch getrennt
, wie du es angeführt hast, untersucht werden muß.

Für x < 1/2 könnte ich dies einmal vorführen.

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Ok das wäre super ! Dann könnte ich die anderen 2 Fälle selbst probieren und reinstellen:)

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Hier meine Überlegungen / Berechnungen

Der Bereich -1/2 < x < 0 gehört zur Lösung

Answer 1

zur c): Ist eine vorige Fallunterscheidung wirklich sinnvoll? Löse die einzelnen Ungleichungen durch quadrieren und dann durch Fallunterscheidung, bilde danach die Schnittmenge der beiden Lösungen und du hast dein Ziel erreicht.

1)Durch Quadrieren vereinfacht sich die erste Ungleich zu

$$0 < x \left( x - \frac{2}{3} \right)$$

Aus der man mittels einer einfachen Fallunterscheidung schnell zur Lösung kommt.

2) Die zweite Ungleichung in der Kette führt nach dem Quadrieren

$$ 12x^2-4x-5 < 0 $$

Kein Fallunterscheidung nötig, einfach nur pq-Formel anwenden.

Am Ende den Durchschnitt bilden und fertig.

Gruß

Comments

Ich habe das nachgerechnet
 bei 1) bekomme ich 0<x((8/3)x -2)
führt zu x1>0 und x2>3/4
bei 2) bekomme ich x1<-1/2 und x2<5/6

Vereiningt sollte das so aussehen L=[(-1/2,0),[3/4,5/6)] was laut der Grafik in dem Kommentar von georgborn stimmt .
passt das dann so?

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Nein, aus der 1. Ungleichung folgt \(x <0 \) oder \( x > \frac{2}{3} \). Anscheinend hast du dich irgendwo verrechnet und die Fallunterscheidung verfehlt.

bei 2) ist dein 1. Vorzeichen falsch herum  als Lösung kommt \( -\frac{1}{2} < x < \frac{5}{6} \) raus. Und am Ende steht nicht die Vereinigung sondern der Durchschnitt und dieser ist:

$$ \left( -\frac{1}{2}, 0 \right) \cup \left( \frac{2}{3} , \frac{5}{6} \right)$$

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ah ok ich werd da wohl irgendeinen fehler gemacht haben bei 1)

und 2tens hab ich auch so nur falsch aufgeschrieben :D

Noch eine Kurze Frage was ist der Durchschnitt bei Intervallen? wenn die wie bei diesem Beispiel nicht Zusammenhängened sind. ist das dann wieder die Vereinung von den 2 Intervallen? So dass es entweder das eine oder das andere Intervall sein kann? weil das " u" ist doch ein vereinigungselement?

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Der Durchschnitt zweier Mengen (also insbesondere zweier Intervalle) sind alle Elemente die in beiden Mengen (Intervallen) drin liegen. Das am Ende bei mir eine Vereinigung steht bedeutet nicht, dass ich die beiden Lösungsmengen der Ungleichungen vereinigt habe sondern liegt an der Darstellung. Mal dir beide Lösungsmengen untereinander auf einem Zahlenstrahl auf und dann siehst du welche gemeinsamen Bereiche sie besitzen.

Answer 2

Meine Ansatz zu a ) ich habe hier quadriert und ausgenutzt das ein quadrat immer positiv ist also beide seiten gleich sind . Und dann (x-1)² = (x-3)² auf x augelöst und es ist 2 rausgekommen. Kann man das so machen? oder muss man sich an die fahlunterscheidung halten?

In a) werden die Zahlen gesucht, die von 1 genau so weit weg sind wie von 3. Das Ergebnis kannst du dir an einem Finger abzählen und Quadrieren, Fallunterscheidungen und so weiter sind nicht notwendig.

Comments

Der eine Finger ist oft der Daumen, über den gern geschätzt wird.

Als mathematischer Nachweis und punktegenerierende Aufgabe reicht das aber nicht in einer Klassenarbeit.

Quadrieren ist hier völlig fehl am Platz - es geht um die Fallunterscheidung und das hier ist nur eine einfache Aufgabenstellung, was nicht bedeutet, das man die Fallunterscheidung nicht zu machen braucht, sondern vielmehr üben kann und auch sollte.

Also welche Fälle gibt es ?

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Ok danke Für den Hinweis,

Also für Beispiel A) gibt es 4 Fälle

1. x-1>=0 und x-3>=0 bekomme ich eine falsche aussage raus alle x fallen weg

2. x-1<0 und x-3<0  bekomme ich eine falsche aussage raus alle x fallen weg

3. x-1>=0 und x-3<0 ergibt x=2 ==> |1|=|-1| geht.

4. x-1<0 und x-3>=0 ergibt x=-1 und |-2|=|-4| geht nicht

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"In a) werden die Zahlen gesucht, die von 1 genau so weit weg sind wie von 3. "

Mit dieser Begründung ist das in einer Klassenarbeit völlig ok.

Rechnen kann man dann (3+1)/2 = 2. 

Auch das Quadrieren der Beträge ist ok. 

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Ok und wie geht dann c) da hat man ja 2 "<" muss man da immer alles so hinbringen das das nur in der mitte steht und rechts und links die Zahlenwerte stehen ? oder nach den 2 Fällen abarbeiten und jeweils die obere und untere schranke dann nehmen?

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Kennst du eventuell Ellipsengleichungen?

So wie du dort quadriert hast, ist das nicht mehr dasselbe! (binomische Formel wäre nötig)

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ok nein davon habe ich noch nichts gehört? bzw. wie würde das funktionieren?