Extremwertaufgabe: Einem Kreiskegel ist ein Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben

Question

hi, ich schreib morgen meine mathe klausur...
habe heute beim üben noch einmal eine probeklausur gemacht und dabei folgende aufgabe gehabt :

Einem geraden Kreiskegel mit dem Grundradius R=3 cm und der Höhe H=5cm ist ein gerader Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben, dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des vorgegebenen Kreiskegels liegt. Fertige eine Skizze an. Bestimme den Radius r und die Höhe h des gesuchten Kreiskegels sowie dessen maximales Volumen V.

hier komme ich einfach nicht weiter... -.-
ich weiß zwar generell wie man extremwertaufgaben löst, aber hier komm ich einfach nicht auf die beiden funktionen...

bitte helft mir !

danke

Answer 1

Einem geraden Kreiskegel mit dem Grundradius R=3 cm und der Höhe H=5cm ist ein gerader Kreiskegel mit maximalem Volumen einzuschreiben , dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des vorgegebenen Kreiskegels liegt. Fertige eine Skizze an. Bestimme den Radius r und die Höhe h des gesuchten Kreiskegels sowie dessen maximales Volumen V.

ich mache als Skizze einen Längsschnitt durch die beiden Kegel. Dabei sind die Zahlen 3 und 5 'echt' der Radius und die Höhe des gegebenen Kegels. Darin auf dem Kopf steht ein kleiner Kegel mit unbekanntem Radius r (grün) und Höhe h (schwarz). Die obere Hälfte der schwarzen Strecke misst deshalb 5-h.

Nun ist die Steigung der roten Geraden in 2 Steigungsdreiecken ablesbar. Im grossen ist sie 5 / 3. Im kleinen oberhalb der grünen Begrenzung (5-h) / r.

Daraus erhält man die Gleichung 5/ 3 = (5-h)/ r

5/ 3 = (5-h)/ r

Daraus ergibt sich r = 3(5-h) / 5. Das kann man verwenden, damit das Kegelvolumen nur noch von einer Variablen abhängt.

V(kleiner Kegel) = 1/3  Pi r² h  

= 1/ 3 Pi ( 3(5-h) / 5)² h

Vor dem Ableiten und 0 setzen kann man noch die Konstanten Faktoren weglassen.

f(h) = 25h - 10h²+ h³

f'(h) =25- 20h + 3 h² = 0

h = 1/6 (10 ± √ (400 - 300)) = 1/6 ( 10 ± 10)

h₁ = 20 / 6 = 10 / 3                       h₂ = 0

Aus Realitätsgründen muss bei h=0 ein Min. sein. Deshalb ist das Max. in h = 10/3

Es folgt

r  = 3(5-   10/3) / 5  = 3(15/3 -   10/3) / 5 = 3 ( 5/3) / 5 = 1

V(klein) = 1/3 Pi *1* 10 /3 = 10 Pi / 9 = 3.4007

Anmerkung statt der Steigung, kann auch der Strahlensatz benutzt werden, um die Beziehung von r und h aufzustellen.

Comments

 

Ich hatte noch einen Fehler in der Rechnung.

h = 1/6 (20 ± √ (400 - 300)) = 1/6 ( 20 ± 10) 

h₁ = 30 / 6 = 5                       h₂ = 10/6                          

Aus Realitätsgründen muss bei h=5 ein Min. sein. Deshalb ist das Max. in h = 10/6 = 5/3

Es folgt

r  = 3(5-   5/3) / 5  = 3(15/3 -   5/3) / 5 = 3 ( 10/3) / 5 = 2

V(klein) = 1/3 Pi *4* 5 /3 = 20 Pi / 9 = 6.9813

Answer 2

Das Volumen berechnet sich mit V = 1/3 * π * r² * h

Dieses soll maximal werden, also setzen wir die 1. Ableitung nach r = 0

0 = 2/3 * π * h * r

Zwischen r und h gibt es einen Zusammenhang, der Kegel muss in den andern hineinpassen.

Wenn Du einen Querschnitt des 1. Kegels zeichnest, dann dort die y-Achse = Höhe setzt und die x-Achse als Grundlinie, ist die Seite eine Gerade mit der Gleichung g(x) = -5/3*x+ 5

Für den 2. Kegel heisst das, das y=g(x) ist die Höhe h, x entspricht dem Radius. Also ist der Höhe = 5-5/3*r

Oben eingesetzt:

2/3 * π * (5-5/3*r) * r = 0

2/3 * π * 5r - 2/3 * π *5/3*r² = 0

Comments

Diese Gleichung führte bei mir zu keinem sinnvollen Ergebnis, aber es hat in der Zwischenzeit eine Lösung (siehe unten) von Lu

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Mein Fehler war, dass ich zuerst nach r abgeleitet habe, statt zuerst h einzusetzen. Ich komme jetzt auf ein r von 2. h = 1,66666 (an Lu: bei der Anwendung der quadr. Lösungsformel hast Du für b 10 statt 20 eingesetzt.)