Partialbruchzerlegung nicht möglich bei 3x^4/(x^3-1)?

Question

3x^4/(x^{3}-1)

Der Nennergrad ist kleiner als der Zählergrad, wie gehe ich in diesem Fall vor?

Answer 1

Partialbruchzerlegung nicht möglich?

nein, der Zählergrad ist > als der Nennergrad , also Polynomdivision

3 x^4:(x^3-1) = 3x + 3x/(x^3-1)

Jetzt kannst Du Partialbruchzerlegung machen:

3x/((x-1)(x^2+x+1)=  A/(x-1) +(Bx+C)/(x^2+x+1)

usw.

Comments

Was soll denn die Antwort "nein" bedeuten? Du hast doch selbst vorgemacht, wie es geht: Der erste Partialbruch hat halt den Nenner 1!

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mit nein meine ich, das so wie die Aufgabe lautet,die Partialbruchzerlegung nicht möglich ist.sondern erst nach einer Polynomdivision.

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Ich weiß, was du meintest. Aber die Polynomdivision ist bereits Teil der Partialbruchzerlegung (eben mit dem Nenner 1). Insofern muss deine Antwort richtigerweise "ja" lauten!

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Gast: Zumindest gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung#Verfahren

hast du recht. Das darfst du aber zu Beginn auch schon so schreiben, wenn du bereits annimmst, dass der Begriff nicht klar ist.

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Was ist mit dem 3x vor dem Bruch 3x + 3x/(x³-1) passiert?

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Gast: Das schreibst du dann, wie besprochen,

als 3x + ....

vor das Resultat mit den Brüchen.

Answer 2

Hi, hier ein möglicher ansatzfreier Weg zur vollständige Partialbruchzerlegung in Einzelschritten:$$ \frac { 3x^4 } { x^3-1 } \\\,\\ = \frac { 3x^4 - 3x + 3x } { x^3-1 } \\\,\\ = \frac { 3x\cdot\left(x^3 - 1\right) + 3x } { x^3-1 } \\\,\\ = 3x + \frac { 3x } { x^3-1 } \\\,\\ = 3x + \frac { 3x } { \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+1\right) } \\\,\\ = 3x + \frac { 3x-3+3 } { \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)} \\\,\\ = 3x + \frac { 3(x-1)+3 } { \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)} \\\,\\ = 3x + \frac { 3 } { x^2+x+1} + \frac { 3 } { \left(x-1\right)\cdot\left(x^2+x+1\right)} \\\,\\ = 3x + \frac { 3 } { x^2+x+1} + \frac { 3 } { \left(x^3-1\right)}. $$

Comments

So, ich bemerke noch, dass die Zerlegung noch gar nicht vollständig ist. Es müsste also in der vorletzten Zeile noch ein wenig weiter zerlegt werden.