Ich will nur die Ableitungen von f(x)=log(6)/log(x) (allgemein f(x)=log(a)/log(x))

Question

Mir is manchmal langweilig im Unterricht, also hab ich mal die Funktion f(x)=log_x6 graphisch dargestellt. Ich wollte untersuchen, was allgemein die Wendepunkte der Funktion f(x)=log_xa im Intervall [0;1] sind (sowas interessiert mich eben '^^) Das Problem (und vorallem spannende), man kann den Anstieg eines beliebigen Punktes nicht durch den Limes von x -> x₀ =( f(x)-f(x₀) )/( x-x₀ ) berechnen, wie wir im Unterricht gelernt haben, und was auch eigentlich immer funktioniert hat bei ganzrationalen und gebrochenrationalen Funktionen (ich hab den Formeleditor nicht gefunden, by the way). Je näher ich mich x₀ nähere, desdo größer oder kleiner wird meine Zahl, je nachdem ob linksseitiger oder rechtsseitiger Limes Im Tafelwerk (Formeln und Tabellen) steht auch höchstens was zu f(x)=log_ax, aber kein f(x)=log_xa Und mein Beispiel ist eben: Ableitungen der Funktion f(x)=log_x6. Wär geil, wenn jemand Lösung und Rechenweg zeigen könnte :D ,Falls überhaupt möglich Wenn nich, funktioniert immernoch der zeichnerische Weg, bzw. Mathegrafix xD

Answer 1

1. Wir betrachten das Intervall \((0,1)\) und \(a > 0 \).

2. Die Ableitung von \(g(x) = \ln(x) \) ist \(g'(x) = \frac{1}{x} \).

3. Mit der Kettenregel wäre die Ableitung der Funktion \(f(x) = \log_x(a) = \ln(a) \cdot (\ln(x))^{-1} \) (Funktion ist stetig und differenzierbar auf dem betrachteten Intervall):

$$ f'(x) = -\ln(a) \cdot (\ln(x))^{-2} \frac{1}{x}  = - \frac{\log_a(x)}{x\ln(x)} $$

Gruß