Differentialgleichung 1. Ordnung xy' + 3y = 0

Question

Hallo !

ich habe also folgendes Differentialgleichungsbeispiel 1. Ordnung:

xy' + 3y = 0
y' = (-3y)/x
∫ dy / y = -3 ∫ dx/x
ln(y) + c = -3 ln(x) +c
ln(y) = ln(x^-3) +c

y= (1/ x^3) +c

Eigentlich kann ich das ganze ja berechnen. Wenn ich die Rechnung jetzt jedoch mit wolframaplha überprüfe,

kommt dort als Ergebnis folgendes raus : y = c/x^3

Wird das c beim integrieren zum ln(c) ?? Kann mir das bitte jemand erklären?

Answer 1

Hi,

Beim anwenden der e-Funktion Potenzgesetze beachten:

ln(y) = ln(x^{-3}) +c   |e-Funktion

y = e^ (ln(x^-3)+c) = e^ (ln(x^-3)) * e^c = 1/x^3 * e^c   |Umbennen von e^c = d

= d/x^3

Nun klar? Die Lösung von Dir ist also nicht ganz richtig :).

Grüße

Comments

mhhhh okay.

und wenn ich hier jetzt angenommen eine anfangswertbedingung habe.
ich denk mir hier jetzt eine aus: y(1) = 2

müsste ich das dann so einsetzen und berechnen:

2 = e^c / 1
2 = e^c
ln(2) = ln (e^c)
ln(2) = c

?

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Das ist richtig. Allerdings musst Du nicht das c aus e^c errechnen. Das e^c wird meist als neues c (oder in meinem Fall als d) bezeichnet und dieses errechnet.

--> 2 = d/1^3 = d

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Warum lässt ihr eigentlich beim Integrieren die Beträge weg?

Das macht ja wohl, dass d zum Schluss positiv oder negativ sein darf.

e^c wäre ja positiv.

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Es ist richtig, die Beträge zu setzen, braucht man aber nur in den Zwischenschritten. In der Regel werden diese einfach weggelassen, auch wenn es nicht ganz sauber ist.

Yep, d darf negativ sein :).

Answer 2

habs mal schnell gerechnet: