Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem

Question

a) Berechnen sie die Inverse A^-1 der Matrix

1  -1  0

A=     2  1  1

2  0  1

b) Berechnen sie mit Hilfe der Matrix A^-1 , die sie in a) ermittelt haben, die Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme

1

i) Ax-   2

3

r

ii) Ax-   s

0

0

iii) Ax-  1

0

Machen sie jeweils die Probe.

Comments

Ok das hilft mir weiter Danke.

Aber wie gehe ich an b)ran?

Answer 1

Zur Ermittlung der Inversen überführe die Matrix \(A\) mittels elementarer Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix. Wende die gleichen Umformungen simultan auf die Einheitsmatrix an.$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&-1&0&1&0&0\\2&1&1&0&1&0\\2&0&1&0&0&1\end{array}\right)$$Subtrahiere das doppelte der ersten Zeile von der zweiten.
Subtrahiere das doppelte der ersten Zeile von der dritten.$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&-1&0&1&0&0\\0&3&1&-2&1&0\\0&2&1&-2&0&1\end{array}\right)$$Subtrahiere die dritte Zeile von der zweiten.$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&-1&0&1&0&0\\0&1&0&0&1&-1\\0&2&1&-2&0&1\end{array}\right)$$Subtrahiere das doppelte der zweiten Zeile von der dritten$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&-1&0&1&0&0\\0&1&0&0&1&-1\\0&0&1&-2&-2&3\end{array}\right)$$Addiere die zweite Zeile zur ersten$$\left(\begin{array}{rrr|rrr}1&0&0&1&1&-1\\0&1&0&0&1&-1\\0&0&1&-2&-2&3\end{array}\right)$$Die Inverse lautet also$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1&1&-1\\0&1&-1&\\-2&-2&3\end{array}\right)$$Ein LGS der Form \(Ax=b\) lässt sich nun leicht vermöge \(x=A^{-1}b\) lösen.