Pyramide mit quadrat. Grundseite ABCDS -> Ges. Punkt, der von allen Seiten gleich weit entfernt ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die quadratische Pyramide ABCDS mit A(2|0|0), B(0|2|0), C(-2|0|0), D(0|-2|0) und der Spitze S(0|0| 6). Bestimmen Sie den Punkt im Innern der Pyramide, der zu allen Seitenflächen und der Grundfläche den gleichen Abstand hat.

Zwei Ansätze:

1. Einmal über die Hess'sche Normalform.

2. *ber den Mittelpunkt M einer der 3-eckigen Seiten. Als ich den Mittelpunkt hatte, habe ich von der Ebene der Seite den Normalvektor gebildet und eine Gerade g aus n und dem Punkt M gebildet. Daraufhin den Schnittpunkt mit der Geraden, identisch zur x3 Achse ( s*<0,0,1> ) berechnet..

Ein Freund meinte noch irgendwas mit einem LGS,  hat es aber nicht genauer erklärt

Ich habe beide male 16/9 raus, bei der Probe ist das ergebnis aber falsch :/ Das richtige soll 6/root(19) +1 sein, habe aber keine Ahnung wie ich dahin komme.

Comments

Ich komme auch auf: 

6/ (root(19) +1) 

Allerdings ist bei mir die 1 unter dem Bruchstrich.

---

oh ich war ja anonym, nicht gut :D

habe meinen fehler gefunden.. habe auf dem bruchstrich der hess'schen normalform die betragstriche vergessen, deswegen kam was anderes raus.. immer diese kleinigkeiten

Answer 1

Du vermutest doch den Punkt auf der z-Achse weil die Punkte die gleiche Entfernung zu annen 4 Eckpunkten am Boden haben. D.h unser gesuchter Punkt hat die Koordinaten: P(0, 0, z)

Nun ist der Abstand zu einem Eckpunkt genau so groß wie der Abstand zur Spitze

√(2^2 + z^2) = √((6 - z)^2)

4 + z^2 = 36 - 12z + z^2
12z = 32
z = 32/12 = 8/3

Der Punkt ist also P(0, 0, 8/3)

Comments

Oh unsinnit. Das wär der Punkt der zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand hat.

Ich mache das andere gleich auch noch.

---

schon ok habe meinen fehler! trotzdem danke!
habe die betragstriche vergessen

---

Auch hier gehe ich vom Punkt P(0, 0, z) aus.

Ich stelle mal die Ebene ABS auf

A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), S(0, 0, 6)

x = (2, 0, 0) + r * (-2, 2, 0) + s * (-2, 0, 6)

Ich wandel das in die Koordiantenform

n = (-2, 2, 0) x (-2, 0, 6) = (12, 12, 4) = 4*(3, 3, 1)

3x + 3y + z = 6

Hieraus mache ich nun die Abstandsform

d = (3x + 3y + z - 6) / √(3^2 + 3^2 + 1^2) = (3x + 3y + z - 6) / √(19)

Der Abstand zur Seitenfläche soll gleich dem Abstand zum Boden sein.

|3*0 + 3*0 + z - 6| / √(19) = z
|z - 6| / √19 = z

z = √19/3 - 1/3 = 1.119632981

Answer 2

Aus Symmetriegründen muss dieser Punkt auf der z-Achse liegen.

P(0|0|t), 6> t> 0 Zudem ist t gerade der Abstand von der Grundebene. t muss also auch der Abstand von den Mantelflächen sein.

Nun stelle ich die Koordinatengleichung eines Manteldreiecks her. Das kann man mit Raten ohne Rechnung, wenn die Achsenschnittpunkte gegeben sind. Raten bedeutet hier im Kopf x,y resp z 0 setzen und Koeffizient vor x,y,z erraten.  

Bsp. Durch (2 / 0 /0) (0/2/0) und (0/0/6)

3x + 3y + z = 6  passt zu diesen 3 Punkten.

Also E: 3x + 3y + z -6 =0

HNF (3x +3y + z - 6)/ √(9+9+1) = d also hier t

Punkt(0|0|t) einsetzen

(t - 6)/ √19 = ±t

(t - 6) = ±t √19

t ± t√19 = 6

t(1±√19) = 6

t = 6/ (1 + √19)   + da eine Lösung zwischen 0 und 6 erwartet wird.