Grenzwerte von Folgen: bn=3.Wurzel aus n* (3.Wurzel aus (n+1)^2-3.Wurzel aus (n-1)^2

Question

Ich brauche Eure Hilfe!

Ich muss die Grenzwerte von diesen  Folgen bestimmen für n gegen unendlich.   Leider komm ich nicht drauf.

EDIT. Gemäss Kommentar gilt:

$$ (1) \quad a_n = n^9 \cdot 3^{-\frac{n}{2}} $$
$$ (2) \quad b_n = \sqrt[3]{n} \cdot \left[ \sqrt[3]{(n+1)^2} - \sqrt[3]{(n-1)^2}  \right] $$

an =n hoch 9*3hoch minus n/2

bn=3.Wurzel aus n* (3.Wurzel aus (n+1)^2-3.Wurzel aus (n-1)^2

Kann es sein, dass a=unendlich ist?

Danke schon mal: )

Comments

Hi,
ich versuch das mal in leserliche Form zu bringen. Ist das gemeint
$$ (1) \quad a_n = n^9 \cdot 3^{-\frac{n}{2}} $$
$$ (2) \quad b_n = \sqrt[3]{n} \cdot \left[ \sqrt[3]{(n+1)^2} - \sqrt[3]{(n-1)^2}  \right] $$

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Ja, genau, das sind die Folgen.  Kann da jemand helfen?

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Im Duplikat https://www.mathelounge.de/287507/grenzwerte-von-folgen-bestimmen-bsp-an-n-9-3-n-2#c287616

ist 2) noch nicht unbedingt geklärt.

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Hab's gerechnet,  aber zu wenig Speicher um es hochladen zu können.  Wäre es möglich ,.dass das Ergebnis gegen 0 ist?

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Gemäss

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%5Cquad+b_n+%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7Bn%7D+%5Ccdot+%5Cleft%5B+%5Csqrt%5B3%5D%7B%28n%2B1%29%5E2%7D+-+%5Csqrt%5B3%5D%7B%28n-1%29%5E2%7D++%5Cright%5D+

sollte 1.333.... = 4/3 rauskommen.

Bzw: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28n%5E%281%2F3%29+%28%28%28n%2B1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29-%28%28n-1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29%29%29

Die Eingabe der Rechnung hier ist bei deinen Termen etwas mühsam.

Wenn du willst, kannst du deine Rechnung auch fotographieren und hochladen.

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Nein,  der 2. Term ist nicht: 3. Wurzel aus (n*1)^2 sondern aus (n+1)^2

Es geht eben nicht wegen dem Speicherplatz.

Wenn ich ehrlich bin, habe ich es noch nie erklärt bekommen und somit keinen Plan wie es geht.  Irgendwas im.Internet gelesen und ein paar Videos angeschaut, .bringen auch nicht viel.  Danke für die mühe!

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Kannst du die Eingabe hier verbessern?

(n^{1/3} (((n+1)^2)^{1/3}-((n-1)^2)^{1/3})) 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28n%5E%281%2F3%29+%28%28%28n%2B1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29-%28%28n-1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29%29%29 

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Die Eingabe stimmt.  Sorry, .musste vorher falsch geschaut haben.  Wird hier.mit den komplexen Zahlen gearbeitet?

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Ach ne, .nur bei minus unendlich. Ohje. ...

Und wie kommt man jetzt drauf? Ich weiß dass ich damit arbeiten kann:  x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

Bloß das bringt mich auch nicht weiter

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Sorry. Mein Trick oben passt  bei 2. Wurzeln. Dein Tipp würde besagen, dass du mit (x²+xy+y²) / (x²+xy+y²) erweitern musst. 

Andere Idee: Laurent-Reihe hier 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28n%5E%281%2F3%29+%28%28%28n%2B1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29-%28%28n-1%29%5E2%29%5E%281%2F3%29%29%29%C2%A0

würde das Ergebnis zeigen. (Falls du das kennst oder einfach berechnen kannst. ) 

Answer 1

Aha. 1) habe ich vermutlich verstanden:

an =n^9 *3^{-n/2}  

an =n^9 / 3^{n/2}

geht gegen 0, da Exponentialfunktionen stärker sind als Potenzfunktionen.

Könntest du mit Hospital zeigen.

2) erkennt bestimmt auch noch jemand.

Comments

Scheint die gleiche Frage zu sein wie https://www.mathelounge.de/287241/grenzwerte-von-folgen.

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2) Aha. Differenzen von Wurzeln bringt man in der Regel weg mit dem Trick

√a - √b = (√a - √b)(√a+√b) / (√a + √b)        | Weil a und b positiv (zumindest für grosse n)

= (a - b) / (√a + √b)

Baue das mal eine deine Rechnung ein.

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Aber was ist mit dem Faktor vor der klammer?

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Den könntest du nachher in den Zähler des Bruchs einarbeiten. (Ohne Garantie, dass das dann etwas bringt. Wenn nicht suchst du eine andere Methode.)

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Ich glaube, .ich schaffe es nicht . Trotzdem vielen Dank für Deine Hilfe!