Fragen zur Konvergenz bei reellen Folgen

Question

ich habe gewisse Fragen zur  Folgen reeller Zahlen (a_n) n in N.

1) Kann eine reelle Folge unbeschränkt und konvergent sein?

2) Kann sie beschränkt, divergent und nur positive Folgenglieder haben?

3) Kann sie konvergent und genau zwei Grenzwerte haben? (Nein, da GRenzwert eindeutig)

4) kann sie genau ein Häufungspunkt und genau einen Grenzwert haben?

5) Kann sie genau drei Häufungspunkte haben?

6) Kann sie nach oben beschränkt und dabei bestimmt divergent sein?

Frage 3 habe ich schon beantwortet. Bei dem Rest bitte ich um Hilfe , am besten mit Beispielfolgen, damit ich eure Lösungen verstehen kann.

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\((2)\quad a_n=2+(-1)^n\).

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\((5)\quad\large a_n=\sin\frac{\pi n}2\).

Answer 1

1) Kann eine reelle Folge unbeschränkt und konvergent sein?

nein. konvergent gegen eine Zahl als Grenzwert ⇒ beschränkt   

2) Kann sie beschränkt, divergent und nur positive Folgenglieder haben?

s. Kommentar, also ja

3) Kann sie konvergent und genau zwei Grenzwerte haben? (Nein, da GRenzwert eindeutig)

4) kann sie genau ein Häufungspunkt und genau einen Grenzwert haben?

Nein, wenn es einen GW gibt, ist das der einzige Häufungsp.

5) Kann sie genau drei Häufungspunkte haben?  Ja, s. Kommentar

6) Kann sie nach oben beschränkt und dabei bestimmt divergent sein?

Ja, wenn sie gegen minus unendlich geht.