Vollständige Induktion einer Folge a(n)

Question

Die Folge a_n sei rekursiv definiert durch:

a₀=1 und a_n+1=1/2 a_n+1 für n∈ℕ

Aufgabe: Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion für alle n∈ℕ die Formel:

a_n=2−(1/2)ⁿ

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. :)

Answer 1

Beim Induktionsanfang musst du einfach zeigen, dass für a_1 bei beiden Gleichungen das gleiche rauskommt.

Für den Induktionsschluss betrachtest du folgende Gleichung:

$$a_{n+1}=\frac{1}{2} a_n+1$$

Deine Induktionsvoraussetzung kannst du dort ja schön einsetzen. Das ganze dann noch zusammenfassen und fertig.

Liebe Grüße, Bruce

Comments

Danke :) Ich hoffe, dass ich das gut hinbekomme :)

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Bitte!:)
Wenn nicht, meldest du dich einfach wieder.

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Ich häng bei der selben Aufgabe, komm aber trotzdem nicht weiter :-(

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Den Induktionsanfang hast du?

Für den Induktionsschluss setzt du in die Gleichung, die ich in meinem Beitrag geschrieben habe,

$$a_n=2-\frac{1}{2}^n$$

ein und fasst den Term zusammen.

Liebe Grüße, Bruce

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Danke. Ja den Anfang hab ich, denke das ich jetzt auch den Schluss hinbekomme! Vielen Dank :) LG Michi