Stochastik, HIV-test

Question

Ein HIV-Test hat eine Sensitivität von 0.999 (d.h. 99,9 Prozent aller Infizierten werden positiv getestet) und eine Spezifität von 0.998 (das heißt 99.8 Prozent aller Nichtinfizierten werden negativ getestet). In einer bestimmten Bevölkerung sind 0.001 (also 0.1%) der Bevölkerung mit AIDS infiziert.

Ein Mitglied der genannten Bevölkerung betritt eine Praxis, um einen AIDS-Test zu machen, ohne dass ein konkreter Anlass vorliegt, dass er sich infiziert haben könnte.

1. Das Testergebnis ist negativ. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich nicht infiziert ist?

2. Das Testergebnis ist positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist?

Wenn der Test positiv ausgefallen ist, schickt der Arzt den Patienten zu einer Praxis, die auf AIDS spezialisiert ist. Dort wird noch einmal auf HIV getestet, und zwar genau mit demselben Test.

3. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient im Fall eines positiven Testergebnisses tatsächlich infiziert ist?

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er im Fall eine negativen Testergebnisses nicht infiziert ist?

Comments

ihr Lieben. Ich wäre überglücklich, wenn mir hier jemand die Lösungen zu folgenden Aufgaben verraten könnte.

Führen Sie Zwischenberechnungen mit vier Nachkommastellen durch. Geben Sie die Ergebnisse aber als Dezimalzahlen mit drei Stellen hinter dem Dezimalpunkt an, sprich runden Sie auf bzw. ab (Bsp. 0.55556 wird zu 0.556).

 

Ein HIV-Test hat eine Sensitivität von 0.999 (d.h. 99,9 Prozent aller Infizierten werden positiv getestet) und eine Spezifität von 0.998 (das heißt 99.8 Prozent aller Nichtinfizierten werden negativ getestet). In einer bestimmten Bevölkerung sind 0.001 (also 0.1%) der Bevölkerung mit AIDS infiziert.

Ein Mitglied der genannten Bevölkerung betritt eine Praxis, um einen AIDS-Test zu machen, ohne dass ein konkreter Anlass vorliegt, dass er sich infiziert haben könnte.

1. Das Testergebnis ist negativ. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich nicht infiziert ist?

2. Das Testergebnis ist positiv. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist?

Wenn der Test positiv ausgefallen ist, schickt der Arzt den Patienten zu einer Praxis, die auf AIDS spezialisiert ist. Dort wird noch einmal auf HIV getestet, und zwar genau mit demselben Test.

3. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Patient im Fall eines positiven Testergebnisses tatsächlich infiziert ist?

4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er im Fall eine negativen Testergebnisses nicht infiziert ist?

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Alternativ:

https://www.mathelounge.de/289088/stochastik-hiv-test

https://www.mathelounge.de/327836/statistik-testergebnis-hiv-test

Answer 1

H: Person ist HIV-infiziert. ∁H: Person ist nicht HIV-infiziert

T: Test ist positiv. ∁T: Test ist negativ

gegeben:

P(H) = 0,001

P_H(T) = 0,999

P_∁H(∁T) = 0,998

1) gesucht ist P_∁T(∁H)

Es ist P_∁T(∁H) = P_∁H(∁T) · P(∁H)/P(∁T) nach der Formel von Bayes. Dazu müssen noch P(∁H) und P(∁T) bestimmt werden.

Es ist P(∁H) = 1-P(H) = 0,999 wegen Gegenwahrscheinlichkeit.

Es ist P_∁H(T) = 1 - P_∁H(∁T) = 0,002 wegen Gegenwahrscheinlichkeit.

Es ist P(T) = P_H(T)·P(H) + P_∁H(T)·P(∁H) wegen totaler Wahrscheinlichkeit.

Es ist P(∁T) = 1 - P(T) wegen Gegenwahrscheinlichkeit.

Jetzt sind alle Angaben für die Formel von Bayes bekannt.

2) gesucht ist P_T(H). Geht genau so wie 1)

Answer 2

Für zwei Ereignisse A und B gilt für die Wahrscheinlichkeit  für A unter der Bedingung B

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

1)

P(G  | P#)  =  P(G ∩ P#) / P(P#)  =  0.999 * 0.998 / ( 0.999 * 0.998 + 0.001 * 0.001)  ≈ 0.999999 ≈ 100 %

2)

P(G# | P)  =  P(G# ∩ P) / P(P) = 0.001 * 0.999 / (  0.001 * 0.999 + 0.999 * 0.002)  ≈ 0.333333  ≈ 33,33 %

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3) und 4)

Hier kannst du von P(G#) = 0,3333  [ → P(G) = 0,6667 ]  ausgehen und ansonsten analog verfahren

Gruß Wolfgang.

Comments

Und wie rechnet man jetzt 3) und 4) aus. Muss man die Formel dafür umstellen ?

Bzw. wie gehe ich allgemein vor, die Wahrscheinlickeiten G und #G ändern sich ja nicht. Wie kann man die Werte die du ausgerechnet hast (also P(G#) = 0,3333  [ → P(G) = 0,6667) in die Formel einsetzen ?