Konvergenz aufgrund von bestimmten Eigenschaften beweisen bzw. widerlegen

Question

Hi, ich habe heute eine Aufgabe gesehen, bei der ich einfach nicht weiterkomme bzw. verstehe wie ich das beweisen oder widerlegen kann... Kann mir dazu vielleicht jemand helfen? :)

$$Gegeben\quad seien\quad folgende\quad Eigenschaften\quad für\quad die\quad Folgen\quad { ({ x }_{ n }) }_{ n },\quad { ({ y }_{ n }) }_{ n }\quad und{ \quad ({ z }_{ n }) }_{ n }$$

1) $$∀ε>0∃N∈N:|x−xN|<ε$$ für ein festes x

2) $$∃ ε > 0 ∃ N ∈ N : |y − yn| < ε ∀ n > N$$ für ein festes y

3) $$∃ N ∈ N ∀ ε > 0 : |z − zn| < ε ∀ n > N$$ für ein festes z

a) $$Zeigen\quad oder\quad widerlegen\quad Sie,\quad dass\quad alle\quad Folgen\quad { ({ x }_{ n }) }_{ n },\quad { ({ y }_{ n }) }_{ n }\quad und{ \quad ({ z }_{ n }) }_{ n }\quad welche\quad die\quad Eigenschaften\quad 1),\quad 2)\quad oder\quad 3)\quad erfüllen,\quad konvergent\quad sind\quad mit\quad { lim }_{ n\rightarrow \infty  }{ x }_{ n }=x,\quad { lim }_{ n\rightarrow \infty  }{ y }_{ n }=y\quad und\quad { lim }_{ n\rightarrow \infty  }{ z }_{ n }=z.$$

b) Zeigen oder widerlegen Sie, dass alle konvergenten Folgen jeweils die Eigenschaft 1), 2) oder 3) erfüllen.

Answer 1

a) die Aufgabe dient dazu sich mit der Definition der Konvergenz vertraut zu machen. Konsultiere also eure Definition und vergleiche diese mit den Eigenschaften 1), 2), 3). Die Frage ist, ob dies ausreichende Bedingungen sind.

Hinweis: Nur aus einer der 3 Eigenschaften folgt Konvergenz. (Es lassen sich insbesondere Gegenbeispiele für die anderen 2 Folgerungen finden.)

b) Hier nun umgekehrt, setze Konvergenz voraus, und schaue ob diese Eigenschaften dann erfüllt sind.

Gruß