Konvergenzgebiet der Reihe? Summe_(n≥0) (n^2 + 2^n) x^n

Question

Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet der Reihe. Ich habe keine Idee wie das geht :(

Comments

Ahja, die Lupe kann ich wohl wegpacken.

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

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Wikipedia kann ich selber auf machen, aber das hilft mir auch nicht. Wenn ich nicht weiß wie es geht kann ich auch nicht irgendeine allgemeine Formel in ein Beispiel umwandeln 

Aber danke

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In dem Artikel (so wie in deinen Unterlagen sicherlich auch) steht aber genau beschrieben "wie es geht". Der Ansatz ist es den Konvergenzradius auszurechnen und dafür gibt es verschiedene Methoden. Hier bietet sich zum Beispiel das QK für den Konvergenzradius (nicht zu verwechseln mit dem Quotientenkriterium für Konvergenz, aber sehr ähnlich). Dafür muss man aber wissen wie man Grenzwerte berechnet.

Deine Hauptproblematik liegt also nicht darin, dass du diese konkrete Aufgabe nicht bearbeiten kannst, sondern dass du Lücken in den Grundlagen hast und mathematische Notation nicht verstehst. Je nachdem was du studierst wird es schwierig diese Lücken im späteren Verlauf mit Hilfe von Lösungen einzelner Beispiele zu füllen. (Nicht abwertend gemeint)

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Gut dann frage ich nicht weiter

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Darauf wollte ich nicht hinaus :). Ich wollte dir nur den Rat mitgeben, dir mehr Gedanken um deine Fragen zu machen und diese somit zu präzisieren.

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Hab jetzt angefangen, aber komme nicht weiter. Kann ich das n^2 und das 2n rauskürzen? Ich brauche ja eine konkrete Zahl, damit ich ein Gebiet angeben kann, aber weiß nicht wie ich den Bruch auflöse. Wenn ich n gegen unendlich gehen lasse kommt ja auch nur unendlich raus.

Oder ist es so richtig und die Reihe ist divergent?

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\(2^n\) ist nicht dasselbe wie \(2n\). Und der Konvergenzradius wäre der Kehrwert von dem Grenzwert, wenn du den Quotienten \( | \frac{a_{n+1}}{a_n}  |\) verwendest.

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wieder verlesen. Ok alles nochmal machen. Ok danke

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Ok aber weiter komme ich trotzdem nicht. Der Übungsleiter hat gesagt quotientenkriterium und dann 1 durch das Ganze teilen , deshalb hab ich erstmal versucht gen Grenzwert zu errechnen ( die untere Reihe ist die aktuelle ^^)

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Wahrscheinlich das ^n ausklammern, aber das schaffe ich nicht bei der oberen Reihe. Weiß nicht was ich dann für 2n und für 2^n+1 schreibe. 1 wird 1/n das weiß ich

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Mein Freund, so darfst du doch nicht mit Brüchen hantieren. Du kannst doch nicht einfach im Zähler und Nenner \(n^2\) wegstreichen. Was hier angebracht wäre: ganzen Bruch durch \(2^n\) zu kürzen, weil ihr bestimmt schon wisst, dass

$$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0 $$

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Ok dachte das geht... Aber was wird denn dann aus n^2 wenn ich 2^n rauskürzen? Das n^2/2^n also 0? Und 2n genau so 2n/2^n?

Und sorry nein dass das null wird wusste ich noch nicht

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2^n/2^n ist 1. Schau dir bitte nochmal folgende Themen an:

- Rechnen mit Brüchen (Kürzen, Erweitern, Addieren, Multiplizieren, Dividieren)

- Potenzgesetze

Wenn man beim Thema Konvergenzradius von Reihen ist hat man (sollte jedenfalls) in der Regel schon irgendwann mal (auch wenn nur kurz angeschnitten) behandelt, dass Potenzen (mit Basis größer 1) schneller wachsen als Polynome. Darf ich fragen was du studierst? (Ich weiß dass bei manchen Studiengängen der Stoff sehr oberflächlich behandelt wird).

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Ok danke, dass hatten wir nicht, haben generell sehr wenig Grundlagen sondern bekommen meist nur Formel und dann sollen wir machen...

Studiere nichts mit Mathe sondern was biologisches und habe jetzt"Einführung in die Biomathematik" geht aber den meisten so wie mir das sie es absolut nicht verstehen.

Geht nur ein Semester, will das ganze nächstes Semester nochmal machen, aber dann gleich richtig mit Nachhilfe damit das auch was wird. Würde nur dieses Semester schon meine studienleistung erbringen, fassend hausübungen, die abgegeben werden müssen und 40% richtig sein muss...

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Danke für die Rückmeldung :). Es ist manchmal sehr unverhältnismäßig, was in Studienfächern die nur einen geringen (im Vergleich zu Physik-, Informatik-, Mathestudium) Matheanteil besitzen in kurzer Zeit verlangt wird. Meist handelt es sich bei solchen Fächern dann um Aussiebfächer. Mach dir nichts draus, manche von den Aufgaben, die du gepostet hast, sind nicht "ganz ohne".

Halte ich für eine gute Idee, wünsche dir viel Erfolg weiterhin.

Answer 1

Hi,
hier mal die komplette Rechnung.
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}  = \frac{(n+1)^2 +2^{n+1}}{n^2+2^n} = \frac{\frac{(n+1)^2}{2^n}+2}{\frac{n^2}{2^n}+1} \longrightarrow 2 \text{ für } n \longrightarrow \infty$$
Also ist der Konvergenzradius: $$r = \lim \limits_{n \to \infty} \left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right | = \frac{1}{2} $$
Gruß