konvergenz von Reihen bestimmen.

Question

Hallo ich habe diese Aufgabe

Ich habe Verstanden, was die Konvergenz einer Folge ist, aber ich weiß einfach nicht welchen Ansatz ich benutzen muss, um das zu zeigen. ;(

Kann mir bitte jemand helfen es wäre super ! (: 

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a) vgl.

https://www.mathelounge.de/290925/reihe-konvergenz-bestimmen

Answer 1

Bei b) kannst du das Wurzelkritrium einsetzen.


n-te√|an|) = n-te √|n^4/2^n)| = (n-te √|n^4|)/2, dann ist der lim für n→∝ von (n-te √|n^4|)/2 →1/2 < 1, das heißt die Reihe konverfgiert absolut nach Wurzelkriterium

Answer 2

Bei a würde ich das Minoranten Kriterium einsetzen und dann prüfen

1 + 2^n > 2^n , eventuell mit der vollständigen Induktion beweisen und somit siehst du das a konvergent ist.

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Das wäre dann das Majorantenkriterium.

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Nein, da ja oben 1/ 1 + 2^n steht.. somit vergleicht man ja mit 1 / 2^n.. und da wäre ja ak <= bk.. kann ich genau so gut mit der vollständigen induktion beweisen das 1 + 2^n größer gleich 2^n ist... oder etwa nicht?^^

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Nein, da ja oben 1/ 1 + 2ⁿ steht..

->Klammer vergessen.

somit vergleicht man ja mit 1 / 2ⁿ

->Ja und nutzt das Majorantenkritierium um Konvergenz nachzuweisen. Wenn dir das immer noch nicht klar ist, ließ noch mal nach was das ist.

kann ich genau so gut mit der vollständigen induktion beweisen das 1 + 2ⁿ größer gleich 2ⁿ ist... oder etwa nicht?^^

->Braucht man keine Induktion für.

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Mit Majorantenkriterium folgt:
1/(1+2^n) < 1/2^n - geometrische Reihe, daraus folgt die Konvergenz

Answer 3

Bei c) würde ich auch das Wurzelkriterium benutzen und dann schauen für welche x die Ungleichung gilt:

1/(2-x) < 1 - dann konvergiert die Reihe für diese x absolut

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Und die Beträge berücksichtigen :)