Integration per Substitution: Wurzelbrüche

Question

ich verzweifle gerade etwas an zwei Aufgaben, wo die Integration per Substitution gelöst werden soll.

a) \( \int \sqrt { \frac { 1 - x } { 1 + x } } d x \)

b) \( \int \frac { x } { \sqrt { x ^ { 2 } - x } } d x \)

Wenn ich bei a) folgendermaßen substituiere: z = x + 1, komme ich bis zu diesem Schritt \( \int \sqrt { \frac { 2 - z } { z } } d z \) und dann nicht mehr weiter. Wir dürfen Integrale in der Formelsammlung nachschlagen, aber ich finde ein solches nciht. Wie ich es umformen kann, damit es eventuell auffindbar ist, weiß leider nicht...

Wenn ich bei b) folgendermaßen substituiere: z = x² - x, bekomme sich beim Einsetzen das x nicht weg, da es aufgelöst nach dx 1/(2x + 1) * dz ergibt (anstatt nur 1/(2x) * dz) und habe dann sowohl x als auch z in der Rechnung,  nicht gut.

Answer 1

ich versuche mal Aufgabe a). Substituiere

Comments

Wooow super, vielen Dank Dir! Das kann ich nachvollziehen!

Ich rechne es nochmal selbst durch, ich denke dann sitzt es ;-)

Hast du vielleicht auch eine Idee zur b) ?

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Zu Aufgabe b).
Tipp: Substituiere zunächst  u = x - 1/2. Anschließend verfahre analog zu a).

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ok, danke schon mal... das Ganze analog zur a) bekomme ich hin!
... jetzt nur noch mal zum Verständnis:

ich substituiere u = x^-1/2 (also 1/Wurzel x)

oder u = x - 0,5

oder u = (x-1)/2 ?

sorry, ich bin mit etwas unsicher mit getippten Versionen von komplizierteren Ausdrücken als plus und minus... bin da noch nicht so geübt, da ich eigentlich immer alles mit der Hand auf Papier schreibe und Brüche, Wurzeln etc. da klarerweise irgendwie anders bzw. eindeutiger aussiehen ;-)

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Gemeint ist die Differenz  u = x - 1/2, oder umgeformt  x = u + 1/2. Wende die dritte binomische Formel an.

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Ok, vielen Dank. JETZT hab ichs kapiert! Danke Dir für die Erklärungen und einen schönen Abend noch!

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jetzt hab ich doch nochmal eine Frage :D und zwar zur a)

Ich kann deinen Weg absolut nachvollziehen, aber wie kommst du auf u(x) = Wurzel(1-x²) ?

In meiner Angabe kommen ja nur (1-x) und (1+x) vor, kein Quadrat... wo kommt also nochmal das x² her?

Danke für deine Hilfe!

Answer 2

Ich hab mal die Schritt für Schritt Lösung bei

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+f%28x%29+%3D+√%28%28x-1%29%2F%28x%2B1%29%29

angesehen.

Dort wird erst u=(1-x)/(1+x) substituiert

Dann s=√u

Danach folgt eine Art Partialbruchzerlegung. Nachher kommt irgendwie der Tangens ins Spiel (vermutlich ist das der Teil, bei dem dann die Formelsammlung hilft)

WolframAlpha erzeugt solche Lösungen automatisch. Vielleicht findest du ja einen eleganteren Weg?