Beweisen Sie aus α |= β, gdw α und nicht β widerspruchsvoll ist

Question

ich hänge an foldender Aufgabe fest und bitte um Hilfe mit Lösung. Wenns nicht zuviel Arbeit ist, dann noch mit Erklärung.

Gegeben seien zwei aussagenlogische Formeln α und β.

1. Beweisen Sie: α |= β genau dann, wenn α ∧ ¬β Widerspruchsvoll ist.

2. Erklären Sie in eigenen Worten und mit maximal drei Sätzen, was an dem Ausdruck α |= β ≈ α ∧ ¬β falsch ist.

Comments

Was bedeutet ≈ in diesem Zusammenhang?

Answer 1

Zu 1.

⇒: Es sei α |= β. Dann gilt, dass jede Belegung, die α erfüllt auch β erfüllt. Gegeben sei eine Belegung.

Fall 1: Die Belegung erfüllt α.  Dann erfüllt die Belegung auch β, also erfüllt sie nicht ¬β und somit auch nicht α∧¬β.

Fall 2: Die Belegung erfüllt α nicht.  Dann erfüllt die Belegung auch nicht α∧¬β.

⇐: Es sei α∧¬β widersprüchlich. Dann gibt es keine Belegung, die α∧¬β erfüllt. Gegeben sei eine Belegung. angenommen, diese Belegung erfüllt α. Da sie α∧¬β nicht erfüllt, erfüllt sie auch nicht ¬β, also erfüllt sie β. Somit gilt α |= β.