Zeigen, dass für alle n∈ℕ 3^{2n+1} - 3 durch 6 teilbar ist

Question

Zu zeigen dass: 3²ⁿ⁺¹−3 ist für alle n∈ℕ durch 6 teilbar. Ich würde das mit vollständiger Induktion angehen:

IA mit n=0

3¹-3 = 0 und somit durch 6 teilbar.

IV: Annahme dass 3²ⁿ⁺¹−3 durch 6 teilbar ist.

IS: Aus 3²ⁿ⁺¹−3 muss 3^2n+1(+1)−3, sprich 3²ⁿ⁺² −3 ist teilbar durch 6 folgen.

Leider weiß ich nicht, wie ich ab hier weiterarbeiten würde. Ich weiß dass ich irgendwie die IV anwenden muss aber so wirklich nachvollziehen kann ich das noch nicht.

Answer 1

Induktuionsschritt

3^{2·(n + 1) + 1} - 3 ist durch 6 teilbar

3^{2·n + 1 + 2} - 3 ist durch 6 teilbar

9 * 3^{2·n + 1} - 3 ist durch 6 teilbar

9 * 3^{2·n + 1} - 3 - 24 ist durch 6 teilbar

9 * 3^{2·n + 1} - 27 ist durch 6 teilbar

9 * (3^{2·n + 1} - 3) ist durch 6 teilbar

Letzteres ist erfüllt, da wir die Induktionsannahme verwenden dürfen.

Comments

Danke schonmal, den Ansatz habe ich verstanden und wie man die Annahme verwendet jetzt auch!

Was ich nicht verstehe ist, wo die −24 im 4. Schritt herkommt. Darf ich die einfach hinzufügen, da 24 durch 6 teilbar ist?

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Genau.

Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist darf ich auch beliebige vielfache von 6 dazuaddieren können und die zahl muss immer noch durch 6 teilbar sein.

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Danke, jetzt wo ich das Prinzip verstanden habe versuche ich mich an den anderen Aufgaben!

Answer 2

Hi, Minuend und Subtrahend sind offensichtlich durch 3 teilbar und ungerade, die Differenz ist also gerade. Daher muss der Term durch 6 teilbar sein.