Maximum der Fläche des Dreiecks bestimmen: f(x) = -8x*e^{-x}; g(x) = 4x^{2}*e^{-x}

Question

Gegeben sind die Funktionen

f(x)= -8x mal e*-x

g(x)=4x*2 mal e*-x

K ist der Graph von g und C ist  der graph von f

Die Gerade x=t (also eine Parallele zur y-Achse ) mit t>0 schneidet den Graphen von f in P

und den Graphen von g und Q

Zeichne so eine Gerade in die Abbildung

Die Punkte P ,Q und den Ursprung bilden ein Dreieck (zeichne )

Wie kann man den Flächeninhalt dieses Dreiecks bestimmen ?

(->Formel !Was ist in diesem Beispiel die Höhe ,was die Grundseite ?)

Bestimmen den Wert von t so,dass der Inhalt des Dreiecks maximal ist .

Comments

Ich gehe mal davon aus dass diese Funktionen gemeint sind.

~plot~-8x*e^{-x};4x^2*e^{-x};x=3~plot~

---

genau das ist der graph

---

Dann erscheint es mir nicht so schwer. Ich habe mal eine Beispielgerade eingezeichnet. Das Dreieck ergibt sich aus der Grundseite g(x)-f(x) und die Höhe ist der Abstand der Geraden von der y-Achse. Also h=t.

Jetzt muss man nur noch die Fläche maximieren. A = ( g(x) - f(x) ) * t / 2

---

wie würde das genau aussehen

Answer 1

A = ( g(t) - f(t) ) * t / 2

= (4t^2*e^-t + 8t * e^-t) * t /2

Erstmal sortieren

= e^-t * (4t^2 + 8t) *t /2

= e^-t * (4t^3 + 8t^2) / 2

So diese Klamotte jetzt ableiten

A'(t) = [-e^-t * (4t^3 + 8t^2) + e^-t * (12t^2 + 16t)] / 2

= [e^-t * (12t^2 +16t - 4t^3 - 8t^2) ] /2

= e^-t * (- 4t^3 + 4t^2 +16t) /2

So das ganze Nullsetzen und alles unwesentliche mal rauskürzen

-4t^2 + 4t +16 = 0

t^2 - t -4 = 0

PQ Formel

t₁₂ = 1/2 ±√(1/4 + 4)

t₁= 0,5 + 2,06 = 2,56

t₂ = 0,5 - 2,06 = -1,56

t = 2,56 erscheint mir eine vernünftige Lösung zu sein.

Answer 2

wie würde das genau aussehen

Du setzt bei    A(x)  = ( g(t) - f(t) ) * t / 2  die Funktionsterme ein, bildest die

Ableitung und setzt das dann = 0