Landau Symbole Erklärung anhand eines Beispiels

Question

ich verstehe die Landau Symbole nicht. Ich weiß, nach googlen bzw. in meinem Vorlesungscript sollte ich nach schauen.Das habe ich getan, aber ich verstehe es nicht ganz .

Es wäre nett, wenn einer mir die Landau Symbole anhand Aufgabe a ) erklären könnt. Das würde mir reichen.

Stellen Sie für die folgenden Paare \( (f, g) \) von Funktionen jeweils fest, welche der
Aussagen

\(f(x)=O(g(x)), f(x)=o(g(x)), g(x)=o(f(x)) \) bzw. \( g(x)=O(f(x)) \) für \( x \rightarrow \infty \)

gelten.


a) \( f(x)=e^{x} \) \( \quad\)    \(g(x)=e^{\sqrt{x}}\)


(b)
$$ f(x)=\frac{e^{x}}{x}, \quad g(x)=x^{3} $$
\( (\mathrm{c}) \)
$$ f(x)=e^{\log ^{2}(x)}, \quad g(x)=x^{2} $$

.

Comments

Brauche auch Hilfe zu den ähnlichen Aufgaben.

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Brauche bei der b Hilfe.

Answer 1

Infos findest du hier:

http://tutoritum.de/content/gad_landau.pdf                  [#]

zu (b):

g(x) = o(f(x))  ⇔  lim_n→∞   g(x) / f(x) = 0    [ vgl. # 3.1 (7) ]

lim_x→∞ [  x³ / (e^x/x)]  =  lim_x→∞ [  (x⁴/ e^x] =  0

( gilt immer für  Polynom / e^x , hier könntest du 4-mal Hospital anwenden →  Konstante / e^x → 0)

→  g(x)  = o(f(x)   und damit  auch g(x) = O(f(x)  

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank . Können Sie mir bitte für die c einen Ansatz geben ?

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dazu müsste man wissen, was mit log gemeint ist:

ln = log_e ,  lg = log₁₀ , log₂ , log_b (b=?)

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Ich habe grade den Term mit l'hopital regel dreimal abgeleitet, und habe das Gefühl dass ich nicht auf "->0" kommen werde.

"Konstante / e^x → 0" Ist das ein Satz, wobei es immer gilt ? wenn ja, dann brauche ich  die l'hopital regeln nicht oder?

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für x→ ∞  ja

[x] ⁽⁴⁾  = 1•2•3•4 =24          24/e^x  → 0

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im Vorlesungscript habe ich stehen : log : ]0,uendlich[, genannt natürlich Logarithmus. Im Taschenrechner ln.

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lim_x→∞ [ x² / e^{( ln(x)^2 )} ]  = 0  ... wie bei b)

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ah ok, also gilt hier bei c ) g=o(f) und g=O(f) ?