Exponentialgleichung lösen. 2^{x-1} +7^x= 2^x -7^{x-1}

Question

Hallo.

Folgende gleichung muss ich lösen

2^{x-1} +7^x= 2^x -7^{x-1}

Brauche es .

Danke

Answer 1

 2^x-1 + 7^x  = 2^x - 7^x-1           | + 7x^-1  |  - 2^x-1 

⇔   7^x  +  7^x-1  = 2^x - 2^x-1         |  7^x-1 bzw.  2^x-1  ausklammern:

⇔   7^x-1 • ( 7 + 1)  =  2^x-1 • (2 - 1)

⇔   7^x-1 • 8   =  2^x-1  |  :  7^x-1 

⇔   8 =  2^x-1 /  7^x-1                  |   Potenzsatz   aⁿ / bⁿ = (a / b)ⁿ : 

⇔   8 =  (2/7) ^x-1                      |  ln anwenden : 

⇔   ln(8)  =  ln( (2/7) ^x-1 )       |  Logarithmensatz  ln(a^r) = r • ln(a) :

⇔   ln(8) = (x-1) • ln(2/7)        |  : ln(2/7)  | +1

⇔   x =  ln(8) / ln(2/7) +1   ≈   - 0.6598842669

Gruß Wolfgang

Comments

Zugabe für die, die schon komplexe Zahlen hatten:

2^x = e^[log(2)*x] und da gibt es periodische Lösungen mit komplexen Zahlen:

x=log(7/16)/log(7/2) + 2Pi*n/log(2/7)*i (blau=Realteil; rot= Imaginärteil); n=Faktor 0, 1, 2, ...

x0=log(7/16)/log(7/2)=-0.65988426699533665161...

x1=log(7/16)/log(7/2)+2Pi/log(2/7)*i

Probe: 2^{x-1}+7^x - [2^{x}-7^{x-1}] mit x=log(7/16)/log(7/2)+2Pi/log(2/7)*i

ergibt 0 OK

x2=log(7/16)/log(7/2)+4Pi/log(2/7)*i

usw. ...