Exponentialgleichung 7*3^{x+2}=2*9^{2x-3} lösen

Question

Aufgabe:

7*3^(x+2)=2*9^(2x-3)

Problem/Ansatz:

Wie löse ich so etwas?

Answer 1

7*3^(x+2) = 2*3^(4x-6)

7/2 = 3^(4x-6)/3^(x+2) = 3^(3x-8) = 3^(3x)/3^8

3^(3x)= (7*3^8)/2

3x*ln3= ln(7*3^8)/2)

x= ...

Answer 2

7 * 3^(x+2) = 2 * 9^(2x-3)

7 * 3^x * 3^2 = 2* 9^(2x) * 9^(-3)

63 * 3^x = \( \frac{2}{729} \)  * (3^2)^2x

63 * 3^x = \( \frac{2}{729} \) * (3^x)^4

Substituiere t = 3^x

63t = \( \frac{2}{729} \) * t^4

t(45927 - 2t^3) = 0

t_1 = 0

45927 - 2t^3 = 0

t_2 = \( \frac{9 * \sqrt[3]{252}}{2} \)

Rücksubstituieren:

3^x = 0 => keine Lösung

und

3^x = \( \frac{9 * \sqrt[3]{252}}{2} \)

log₃(3x) = log₃(\( \frac{9 * \sqrt[3]{252}}{2} \))

vereinfache mit log_a(a^x) = x

x = log₃(\( \frac{9 * \sqrt[3]{252}}{2} \)) ≈ 3.047

Answer 3

$$7 \cdot 3^{x+2} = 2 \cdot 9^{2x-3}\quad\vert\quad \log_3(\:) $$ Üblicherweise werden Exponentialgleichung durch Logarithmieren gelöst, hier kann man das sofort machen und erhält die lineare Gleichung$$\log_3(7) + x+2 = \log_3(2) + \left(2x-3\right)\cdot 2$$Sie lässt sich wie gewohnt nach x auflösen: $$ \dfrac{\log_3(7) - \log_3(2) + 8}{3} =  x$$