Zu 1)
Um zu zeigen, dass jede konvergente Reihe Cesàro-summierbar ist und \( C \) gleich dem Reihenwert ist, betrachten wir eine konvergente Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) mit dem Grenzwert \( S \) und definieren die Partialsummen \( S_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \).
Zuerst müssen wir zeigen, dass die Folge der Mittelwerte der ersten \( n \) Partialsummen konvergiert, wenn \( n \) gegen unendlich geht. Sei \( C \) der Grenzwert dieser Mittelwerte:
\( C=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{m} a_{k} \)
Wir können die Doppelsumme umordnen und umschreiben:
\( \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{m} a_{k}=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \cdot(n-k+1) \)
Da \( S_{n} \) die Partialsummen darstellt, können wir die Summe \( \sum \limits_{k=1}^{n} a_{k} \cdot(n-k+1) \) als \( n \cdot S_{n}-\sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot a_{k} \) schreiben.
Nun betrachten wir den Ausdruck \( \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot a_{k} \) :
\( \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot a_{k}=\frac{1}{n}\left(1 \cdot a_{1}+2 \cdot a_{2}+\cdots+n \cdot a_{n}\right) \)
Da \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) konvergiert, wissen wir, dass die Folge \( n a_{n} \) für \( n \rightarrow \infty \) gegen 0 konvergiert (nach dem Cauchy-Kriterium für Reihen). Also konvergiert auch die Folge \( \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot a_{k} \) gegen 0 .
Somit haben wir gezeigt, dass
\( \begin{array}{l} C=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{m} a_{k}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot S_{n}-\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} k \cdot a_{k}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(n \cdot S_{n}\right)- \\ 0=S \end{array} \)
Daher ist jede konvergente Reihe Cesàro-summierbar, und der Grenzwert \( C \) der Mittelwerte der ersten \( n \) Partialsummen ist gleich dem Reihenwert \( S \).
Zu 2)
Um zu zeigen, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\omega}(-1)^{k+1} \) Cesàro-summierbar ist, müssen wir den Wert von \( C \) berechnen, wobei
\( C=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{m}(-1)^{k+1} \)
Zuerst betrachten wir die innere Summe \( \sum \limits_{k=1}^{m}(-1)^{k+1} \). Diese Summe ist eine alternierende Reihe und ergibt für gerade \( m \) den Wert 0 und für ungerade \( m \) den Wert 1 oder -1 , je nachdem, ob \( m \) gerade oder ungerade ist.
Nun betrachten wir die äußere Summe \( \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \ldots \) Wenn \( n \) gerade ist, dann ist die Summe \( \frac{1}{n} \) multipliziert mit der Anzahl der ungeraden \( m \) von 1 bis \( n \), was bedeutet, dass diese Summe 0 ist.
Wenn \( n \) ungerade ist, dann besteht die Summe aus \( \frac{1}{n} \) multipliziert mit der Anzahl der geraden \( m \) von 1 bis \( n \), was bedeutet, dass diese Summe 1 oder -1 ist, abhängig davon, ob \( n \) durch 4 teilbar ist oder nicht.
Daher ist der Grenzwert \( C \) für die Cesàro-Summierung der Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \) gleich 0, da die Anzahl der geraden und ungeraden \( n \) im Grenzfall gleichmäßig gegen Unendlich strebt.
\( C=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum \limits_{m=1}^{n} \sum \limits_{k=1}^{m}(-1)^{k+1}=0 \)
