Question

Hat die Funktion g:R2→R, gegeben durch g(x,y)=(x2−y)⋅(2y+x)2, eine Extremalstelle im Punkt (x,y)=(0,0)

g′(x,y)=2x(2y+x)2+2⋅(x2−y)⋅(2y+x)

x=−12,y=1,4

y=−x2
y=x2

Keine Extremalstelle im Punkt (0,0)=(x,y)

Stimmt das?

Comments

Steht hier ein Teil dieser 2en im Exponenten?

Vielleicht hilft dir https://www.wolframalpha.com/input/?i=g%28x%2Cy%29%3D%28x%5E2−y%29*%282y%2Bx%29%5E2

Dort kannst du die Schreibweise noch anpassen. Graph dort sieht bei (0/0) nicht nach lokalem Extremum aus.

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okay und wie begründe ich, dass da kein Extremum liegt?

Answer 1

du musst die partiellen Ableitungen bilden.

g = (x^2 - y) (2y + x)^2

∂g / ∂x = 2x (2y + x)^2 + (x^2 - y) 2 (2y + x)

∂g / ∂y = - (2y + x)^2 + (x^2 - y) 4 (2y + x).

Diese verschwinden bei (x, y) = (0, 0). Folglich ist (0, 0) eine Extremstelle.

MfG

Mister

Comments

Könnte es nich auch noch ein Sattelpunkt sein?

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Stimmt. Könnte auch ein Sattelpunkt sein.

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Es ist auch ein Sattelpunkt, wie ich gerade mit Hilfe der Hessematrix nachrechnete. Dies überlasse ich dem interessierten Leser. Die Hessematrix ist erklärt als

H(x, y) = ∂^2 g / ∂x∂x   ∂^2 g / ∂x∂y   ;   ∂^2 g / ∂y∂x   ∂^2 g / ∂y∂y.

";" trennt die Zeilen der Matrix, links steht die erste, rechts die zweite.

An der Stelle (0, 0) verschwindet offenbar die gesamte Hessematrix und damit auch ihre Determinante. Folglich handelt es sich bei (0, 0) um einen Sattelpunkt.

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Ableitungen sind unnötig, denn g(0,y) = -4y³.

Dass die Hesse-Matrix verschwindet, ist auch kein hinreichendes Kriterium für einen Sattelpunkt. Betrachte x ↦ x^4.

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Hm, was machen wir jetzt?

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Den ersten Satz aus meinem Kommentar lesen...