Wie viele Minuten nach Abfahrt kommen sich die Fähren F1 und F2 am nächsten? Wie weit sind sie entfernt?

Question

Auf einem See kreuzen sich die Routen zweier Fähren F1 und F2. Die Fähre F1 fährt in 40 Minuten mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig vom Ort A (16|4) zum Ort B (12|20). Die Fähre F2 fährt mit konstanter Geschwindigkeit von 25 km/h vom Ort C (4|0) zum Ort D (24|15).

Beide Fähren verlassen gleichzeitig die Orte A bzw. C. Wie viele Minuten nach Abfahrt kommen sich die beiden Fähren am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?

Ich verstehe noch nicht so ganz wie man bei solchen Aufgaben den minimalen Abstand berechnet. Wäre schön wenn mir jemand mit einer anschaulichen Lösung helfen kann :)

Comments

@Anonym: Ich nehme an, es handelt sich um eine stehendes Gewässer. Einen See z.B. und keinen Fluss. Leider schreibst du das nicht. (???)

Weisst du schon, was die Parametergleichung einer Geraden ist?

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Ja aber ob es ein see oder Fluss ist spielt keine rolle. Ja die paramenter Gleichung sollte man bereits in der Aufgabe davor lösen aber ich versteh nur den aufgabenteil c, also der hier gestellte, nicht.

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als Antwort biete ich t = 21.88 min und als Abstand 7.7 km an. Meine Rechnung ist allerdings etwas umfangreicher und benötigt die Differenzialrechnung.  Falls gewünscht kann ich den Lösungsweg hier einstellen.

  mfg Georg

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Ja mit Lösungsweg wäre es perfekt, dann kann ich das auch nachvollziehen. Danke

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Die Antwort wurde eingestellt. mfg Georg

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Bilde Stütz-und Richtungsvektoren.

Richtungsvektoren normieren.

s=v*t

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Stell zunächst mal die Ortskoordinate der beiden Fähren in Abhängigkeit der Zeit in Stunden auf.

Ich komme auf:

F1: [16 - 6·r, 24·r + 4]

F2: [20·r + 4, 15·r]

Kommst du auch auf diese Koordinaten. Dann bestimme den Abstand dieser Koordinaten in Abhängigkeit von t. Wo wird der Abstand MINIMAL?

Answer 1

Wenn du die beiden Parametergleichungen bestimmt hast, sorge dafür, dass der Stützpunkt dem Ausgangspunkt deiner Fähre entspricht.
Nun wählst du die Parameter von den Richtungsvektoren im richtigen Verhältnis zueinander.

Länge des Richtungsvektors1 * Faktor1 = Geschwindigkeit1

und

Länge des Richtungsvektors2 * Faktor2 = Geschwindigkeit2

Danach kannst du bei beiden Geradengleichungen denselben Parameter t benutzen.

Answer 2

Angegeben waren die Koordinaten
Fähre F1 ( 16 / 4 ) 40 min später ( 12 / 20 )
Fähre F2 ( 4 / 0 ) nach ( 24 / 15 ) mit der Geschwindigkeit 25 km/h

Die Koordinaten der Fähren werden als Funktion der Zeit dargestellt.
Die Entfernungen und Koordinaten in km. Die Zeit in min.

Die Fähre F1 legt 4 km von 16 nach 12 in 40 min zurück, also
4/40 = 0.1 km/min. Die Formel für die x-Koordinate lautet :
xf1(t) = 16 - 0.1 * t. Entsprechend die y-Koordinate
yf1(t) = 4 + 0.4 * t

Fähre F2 : muß ein bißchen gerechnet werden, da nur die Geschwindigkeit
bekannt ist, wir aber die Zeit suchen.  Entfernung Anfangspunkt zu Endpunkt

√ ( ( x1 - x2 )^2 + ( y1 - y2 )^2
√ ( ( 4- 24)^2 + ( 0 - 15)^2 )
√ (  625 )
s = 25 km. Bei einer Geschwindigkeit von 25 km/h dauert die Fahrt
t = 1h = 60 min
Die Formel für die x-Koordinate müßte sein : 20 km von 4 nach 24 durch 60 min
xf2(t) = 4 + 1/3 * t
yf2(t) = 0.25 * t

Jetzt können also die Koordinaten der Fähren als Funktion von t berechnet werden.

Der Abstand von Fähre 1 zu 2 zum Zeitpunkt t ergibt sich über den Pythagoras

A(t) = √ ( ( xf1(t) - xf2(t))^2 + ( yf1(t) - yf2(t))^2 )
A(t) = √ ( ( 16 - 0.1 * t - ( 4 + 1/3 * t))^2 + ( 4 + 0.4 * t - 0.25 * t )^2 )
A(t) = √ (( 12 - 0.4333 * t )^2 + ( 4 + 0.15 * t )^2 )
A(t) = √ ( 0.21024889*t^2 - 9.1992*t + 160 ) mit Mathe-Programm ermittelt

Jetzt muß die erste Ableitung gebildet werden und zu null gesetzt werden
um einen Extremwert ( Minimum ) zu finden. Die Wurzel kann weggelassen
werden, da der Radikand und ( Wurzel aus Radikand) an gleicher Stelle den Extremwert haben.

A´(t) = 0.42049778*t - 9.1992
0.42049778*t - 9.1992 = 0
t = 21,88 min

Der Abstand beträgt :
A(t) = √ (( 12 - 0.4333 * t )^2 + ( 4 + 0.15 * t )^2 )
A(t) = √ (( 12 - 0.4333 * 21,88 )^2 + ( 4 + 0.15 * 21,88 )^2 )
A(t) = 7.7 km

Nach 21,88 min müßte der Abstand ein Minimum von 7.7 km betragen.

1:) es gab viel zu rechnen. Vielleicht gehts einfacher ???
2:) unglücklichsterweise stimmt mein Ergebnis nicht mit der anderen Antwort überein.

mfg Georg

Bei Fragen oder Fehlerhinweisen bitte wieder melden.

Answer 3

f1: x = [16, 4] + r * ([12, 20] - [16, 4]) = [16, 4] + r * [-4, 16] = [16, 4] + 40/√272 * t * [-4, 16]
f2: x = [4, 0] + r * ([24, 15] - [4, 0]) = [4, 0] + r * [20, 15] = [4, 0] + 25/25 * t * [20, 15] = [4, 0] + t * [20, 15]

Abstand der beiden Fährpunkte

d^2 = ((16 - 160/√272 * t) - (4 + 20 * t))^2 + ((4 + 640/√272 * t) - (15 * t))^2
d^2 = -(3200 t^2)/√17+2225 t^2+(320 t)/√17-600 t+160
(d^2)' = (4450-6400/√17) t+320/√17-600 = 0

t = 0.18027 ca. 10.82 min.

d^2 = ((16 - 160/√272 * 0.18027) - (4 + 20 * 0.18027))^2 + ((4 + 640/√272 * 0.18027) - (15 * 0.18027))^2
d^2 = 112.9
d = 10.62 km

Comments

Ich habe bei Fähre 1 fälschlicher Weise mit 40 km/h gerechnet.

f1: [16, 4] + t·([12, 20] - [16, 4])/40·60 = [16 - 6·t, 24·t + 4]

f2: [4, 0] + r·([24, 15] - [4, 0]) = [4, 0] + r·[20,15] = [4, 0] + t·[20,15]*25 / √(20^2 + 15^2) = [20·t + 4, 15·t]

Abstand der Fährpunkte

d^2 = ([16 - 6·t, 24·t + 4] - [20·t + 4, 15·t])^2 = ([12 - 26·t, 9·t + 4])^2 = 757·t^2 - 552·t + 160

(d^2)' = 1514·t - 552 = 0

t = 276/757 = 0.3645970937 h = 21.88 min

d^2 = 757·t^2 - 552·t + 160 = 59.37

d = 7.705 km

Damit kann ich das Ergebnis von Georg bestätigen.