Kurvendiskussion f(x) = e^{2x} + 1

Question

Es geht um die Funktion:

$$ f(x) = e^{2x} + 1 $$

Monotonie: Die Funktion hat keine erste Ableitung. Und nun?

Krümmung: Die Funktion hat keine zweite Ableitung. Und nun?

Extrema/Wendepunkt/Nullstellen: Es gibt jeweils keine notwendigen Bedingungen. Reicht es, wenn ich direkt nach der notwendigen Bedingung auföre?

Graph: Wir haben das so gemacht, dass wir bei einer Kurvendiskussion die berechneten Werte zeichnen, aber welche Werte zeichne ich nun?.

Comments

Warum gibt es keine erste Ableitung?

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Upss das tut mit leid.
Ich meine, wenn man die erste/zweite Ableitung gleich Null setzt.

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Wenn man die Ableitung nicht null setzen kann, bedeutet das, dass es keine Extrempunkte gibt. Und wenn man die zweite Ableitung nicht null setzen kann, gibt es auch keine Wendepunkte.

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okay Dankeschön.

Gibt es zufällig ein mathematisches Zeichen, das es verdeutlicht.?

Oder reicht, wenn ich einfach schreibe. Die Funtkion hat keinen Extrema...

(Kannst es gerne als "Antwort" hinzufügen)

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Ein mathematisches Zeichen gibt es nicht, allerdings

"Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 ist nicht erfüllt, weswegen es kein Extremum gibt. Selbiges gilt für den Wendepunkt, dessen notwendige Bedinung f''(x) = 0 ebenfalls nicht erfüllt ist".

Grüße

Answer 1

> Die Funktion hat keine erste Ableitung.

Doch, hat sie: f'(x) = 2e^2x.

Comments

Tut mir leid ,ich meine bei Monotonie und Krümmung , dass man die Ableitung nicht gleich 0 setzen kann bzw. die Ableitungsfunktion hat keien Nullstellen.

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Man kann die Ableitung gleich 0 setzen. Das geht so:

        2e^2x = 0.

Die daraus resultierende Gleichung hat keine Lösung.

Answer 2

Ich wüsste nicht dass es ein Zeichen gibt. Ich würde schreiben, "da die Ableitung nicht null gesetzt werden kann, gibt es kein Extremwert bzw. Wendepunkt".

Comments

Dankeschön. Wie sieht es mit der Monotonie aus. Ich kann doch trotzdem einen Wert aussuchen den ich einsetze oder?

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Bei der Monotonie kannst du argumentieren, das die Ableitung immer größer als Null ist und des wegen die Funktion streng monoton wächst.

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Genau.. Das habe ich auch so vermutet.

Wie schreibt man das am Ende auf?

Ist f´(x)=>0 für alle x I so ist f auf I streng monoton steigend..

das geht ja nicht wegen der ableitung..

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f'(x) ist nicht =>0 sondern f'(x) ist >0. Und das ist die Bedingung für streng monotones Wachstum.

Answer 3

Extrema/Wendepunkte: "Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 ist nicht erfüllt, weswegen es kein Extremum gibt. Selbiges gilt für den Wendepunkt, dessen notwendige Bedinung f''(x) = 0 ebenfalls nicht erfüllt ist".

Monotonie: Die Ableitung ist f'(x) = 2e^{2x}

Das ist stets größer 0 -> Monoton steigend auf dem ganzen Intervall

Krümmung: Die zweite Ableitung ist f''(x) = 4e^{2x}

Das ist stets größer als 0 -> Linkskrümmung auf dem ganzen Intervall

Graph: Der Graph verläuft für x -> -∞ gegen 1. Das ist also Deine Asymptote. Ansonsten vielleicht noch zwei drei Punkte bestimmen um einen groben Verlauf zu erhalten. Das ergibt:

Grüße

Answer 4

f(x) = e^{2·x} + 1

Der Graph der Funktion f geht aus dem Graphen der E-Funktion hervor, wenn man den Graphen um den Faktor 2 in Richtung x-Achse staucht und um eine Einheit nach oben verschiebt.

Da y = e^x streng monoton steigend war ist es dieser Graph auf.

Da sich e^x im negativ undendlichen der x-Achse genächert hat nähert sich dieser Graph der Asymptote y = 1 im negativ unendlichen.

Es gibt hier wie bei der e-Funktion keine Extrem und keine Wendepunkte.