Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = (2 - x)·e^x
Die Graphen der Funktion f und ihrer Ableitungsfunktion f' sind in der Abbildung dargestellt.
a1) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den Kordinatenachsen.
f(0) = 2
f(x) = 0 --> x = 2
a2) Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen von f.
f'(x) = 0 --> x = 1
f(1) = e
f''(x) = 0 --> x = 0
a3) Untersuchen Sie, ob sich die Graphen der Funktionen f und f´ schneiden.
f(x) = f'(x) --> Keine Lösung
b1) Zeigen Sie, dass die Funktionen F mit der Gleichung F(x) = (3 - x)·e^x eine Stammfunktion von f ist.
F'(x) = f(x) ist erfüllt.
b2) Ermitteln Sie für 0 < z < 2 den Inhalt A(z) der zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall (0; z) eingeschlossenen Fläche in Abhängigkeit von z.
A(z) = e^z·(3 - z) - 3
c) Auf einem Erdölfeld wird Öl gefördert.Durch die Funktion f wird nun für 0 < x < 2 die Förderrate zur Einheit 1 Million Tonnen pro Jahr aufgefasst.
c1) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen von f im Intervall (0; 2) im Sachzusammenhang.
c2) Bestimmen Sie die für den gesamten Zeitraum von Beginn des Jahres 2013 bis Ende des Jahres 2014 zu erwartende Fördermenge.
c3) Am Ende des erstens Quartals 2014 erkennt der Betreiber, dass die Förderrate von diesem Zeitpunkt an - im Gegensatz zur Modellierung Funktion g gesucht, deren Graph zum Zeitpunkt x = 5/4 dieselbe Steigung hat wie der Graph der Funktion f
Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Funktion g
g(x) = e^{5/4}·(17 - 4·x)/16 = 3.708 - 0.8726·x
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Ölförderung enden wird .
g(x) = 0 --> x = 4.25
