Ungleichung, Betragsungleichung. |x^2-1| ≥ |x+1|

Question

Ich würde gerne von euch wissen wollen, wie diese Aufgaben zu lösen sind. Es sind keine Hausaufgaben oder ähnliches bin am lernen und wollte das Thema besser verstehen:

|x^2-1\>_|x+1|

|x-4|>x^2

ich habe die Lösungen jedoch wurde ich einmal gerne das mit rechenweg und Erklärung verstehen wollen.

Danke

Answer 1

Es soll wahrscheinlich

| x^2 -1 | ≥ | x + 1 |

heißen.

Durch die Betragsstriche hat man 2 Funktionen

für x^2 -1 > 0 ( positiver Wert ) gitl
| x^2 -1 | = x^2 -1

für x^2 -1 < 0 ( negativer Wert ) gitl
| x^2 -1 | = ( x^2 -1 ) * (-1 )

Durch das mal (-1) wird aus dem negativem Wert
ein positiver, wie durch die Betragsstriche gefordert.

Die Funktion ändert sich also an der Stelle
x^2 -1 = 0
x = +1
x = -1

für
x -1 = 0 ist
x = 1

Die 2 Werte werden nun auf einem Zahlenstrahl eingezeichnet.
Es ergeben sich 3 Bereiche die gesondert begutachtet werden müssen.

Soweit klar ? Falls Interesse besteht kann es weitergehen.

Comments

Also den ersten Schritt für die linke Seite verstehe ich, aber dann muss ich doch auch noch für die Rechte Seite eine Fall Unterscheidung machen oder nicht?

Verstehe das nicht ganz wie du dort auf die x=1 kommst

Ich habe da:

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Auf der linken Seite habe ich
x = 1
x = -1

Auf der rechten Seite habe ich ( genau wie du )
x = -1

Insgesamt ergibt sich
x = 1
x = -1

An diesen beiden Stellen ändern sich die Betragsfunktionen.

Der Zahlenstrahl zeigt dir dann 3 Bereiche die es zu untersuchen gilt.

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Ja verstehe, hatte bisschen zu viel gelernt und mein Kopf war voll, konnte nicht mehr klar denken.
Könntest du eventuell den Rest vor rechnen? Mit Erklärung?

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Du hast die Frage ja gestellt um etwas zu lernen.
Dazu ist das Forum da.
Dann wollen wir einmal zusehen ob ich dir die
Vorgehensweisen vermitteln kann.
Nachher kommt dann etwas.

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Hier der erste Fall.
Um es etwas einfacher zu machen habe ich
das Ungleichhietszeichen durch ein Gleichheitszeichen ersetzt.

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Danke, mein Fehler war es das ich nicht auf x^2 geachtet habe, die immer positiv ist und da auch x kleiner als 1 betragsmäßig größer ist als 1 wird das positiv ok das habe ich echt verstanden.

Und wie würde man das im mittleren Bereich angehen? Das Problem ich weiß noch nicht wie damit umgehen soll, wenn das x zwischen minus und plus liegt, es wäre echt hilfreich für die kommende Prüfung in Mathe :-)

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kommt nacher. Fülltext.

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Hier der Rechenweg für den mittleren Bereich

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Der Rechenweg für Fall 3

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| x^2 - 1 | = | x + 1 |

umgeformt zu

| x^2 -1 | - | x + 1 | = 0

~plot~ abs( x^2 -1 ) - abs ( x + 1 ) ~plot~

Die Nullstellen sind x = -1 , x = 0 und x = 2 | stimmen

Answer 2

|x-4|>x²    machst am besten Fallunterscheidung

1. Fall  x≥4 dann ist

|x-4|>x²  das gleiche wie    x-4 >x² 

                                           0 > x^2 - x + 4

                                           0 > x^2 - x  +1/4 - 1/ 4 + 4

                                              0 > (x - 1/2)^2   +3,75 

Das stimmt niemals, also  gehören alle  x≥4  nicht zur Lösungsmenge.

2. Fall  x<4 dann ist

|x-4|>x²  das gleiche wie    -x+4 >x² 

                                            0 > x^2  + x  - 4
                                           0 > x^2 + x  +1/4 - 1/ 4  - 4

                                        0 > (x + 1/2)^2     -4,25

                                  4,25  > (x + 1/2)^2     

                      also x +1/2 < wurzel(4,25)   und   x +1/2 > - wurzel(4,25)

                          x  < -1/2  + wurzel(4,25)   und    x >  -1/2  - wurzel(4,25)

und da wir im Fall x<4 sind, gilt das für alle x mit

   x  < -1/2  + wurzel(4,25)   und    x >  -1/2  - wurzel(4,25)

also L = ] -2,56 ; 1,56  [

und du siehst: Das passt:

~plot~abs(x-4); x^2; [[-4|4|-1|10]]~plot~

nur  im Bereich von  ] -2,56 ; 1,56  [ ist der blaue Graph

oberhalb vom roten.

                                      

Comments

Wäre das dann für den ersten Fall so richtig argumentiert?

Answer 3

$$\vert x^2-1\vert\ge\vert x+1\vert.$$Die Ungleichung gilt offenbar für \(x=-1\). Für \(x\ne-1\) folgt$$\vert x-1\vert\ge1.$$Daraus folgt$$x\le0\lor x\ge2.$$

Comments

Schöner Beitrag, danke!