Sehnenlänge im Ellipsenkreisbogen

Question

Angenommen ich habe eine Ellipse. Das radiale Koordinatensystem lege ich in den Mittelpunkt. Das was normalerweise die positive waagrechte x-Achse ist, stellt hier den Winkel 0° Grad dar. Des weiteren ist die Ellipse so definiert, dass von dieser 0-Linie aus die Winkel im Uhrzeigersinn bis 180 Grad gehen, und von der 0-Linie gegen den Uhrzeiger die Winkel bis -179,999.... Grad gehen.

Was ich jetzt berechnen will ist die Länge einer Sehne in Abhängigkeit zweier Winkel (beide zwischen -179,999... ° und +180°) und den halbachsen a und b. Dabei ist a die waagrechte und b die senkrechte Halbachse.

Was ist die Formel die ich brauche, um diese Sehnenlänge zu berechnen?

Answer 1

mein Tipp wäre:

wenn man sich erst mal bei den Winkeln auf 0 bis 90° bzw. 0° bis -90° beschränkt,

haben die von 0 ausgehenden "Leitstrahlen" zu diesen Winkeln jeweils die Gleichung y = tan(alpha)*x

und in die Ellipsengleichung eingesetzt gibt das wohl

x^2 = 1 /  (  1(a^2 )  +  tan^2(alpha) / b^2  )  

Dann immer mit dem passenden VZ das x aus rechnen und dazu dann das y und

dann mit der Längenformel wurzel ( (x1-x2)^2 + ( y1-y2)^2 )

Comments

Hallo Mathef,

vielen Dank für deine Antwort.

Leider habe ich diese auch nach einem Tag nachdenken immer noch nicht verstanden. Vielleicht hängt es daran, dass ich mir x und y in deiner Formel nicht vorstellen kann. Bzw. nicht weiss was ich da einsetzen soll. Daher habe ich mein Problem noch mal grafisch dargestellt. (In dieserm Beispiel gehen die Winkel wieder von 0° (horizontale rote Linie bzw. Halbachse a) bis -180° (gegen Uhrzeiger) und +180° (mit Uhrzeiger)

Welche Formel brauche ich, um die Sehenlänge auszurechnen? (Dabei sollte die Formel für alle denkbaren Sehnen gelten).

Sorry wenn ich hier noch mal fragen muss.

Vielen Dank für die Hilfe.

Vielen Dank für die Hilfe.

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Hab das mal nach Excel und Geogebra umgesetzt.

Es fehlen noch die richtigen Vorzeichen ( könnte man wohl mit wenn-Formeln machen).ellipse.ggb (6 kb) ellipse.xlsx (10 kb)

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Hallo Mathef,

vielen Dank für die schnelle Antwort, bevor ich mich bei nächster Gelegenheit diese Woche noch mal 2-3 Stunden dran setze, um das zu verstehen, würde ich noch gerne wissen wie das alpha im excel file von 28,12° zu stande kommt? Oder sollten für mein Beispiel hier die -41° eigentlich stehen? PS: mit Geogebra habe ich noch nicht gearbeitet. Aber das ist ein guter Tipp. Ich werde es mal installieren und ausprobieren.

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Hallo Mathef,
ich habe gerade heraus gefunden, dass in meiner Zeichnung die -41° gar nicht warheitsgemäß sind. Eigentlich sind das nach meinem neusten Kenntnisstand ungefähr -12,45° und das führt dann auch in deinem Excel zu einer entsprechend passenderen/realistischeren Länge der Sehne Da stimmt dann das gemessene mit dem errechneten gut überein. Sorry für diesen Fehler. Ich werde deine Antwort weiter studieren. Viele Dank.

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Und - wie gesagt - die Vorzeichen stimmen niht in allen Fällen.