Wie berechne ich den Wert einer Funktion mit Hilfe von gegebenen Nullstellen?

Question

Es sei p(x) ein kubisches Polynom der
Form x ^3-  2x² + ux + 6, mit vorerst unbekanntem Wert u, aber
der Information, dass das Polynom die zwei Nullstellen 1 und
2 hat. Man bestimme die dritte Nullstelle und den Wert von
u.

Comments

Stimm die zweite Nullstelle, müßte die nicht -2 sein?

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wird wohl x = -2 heißen

mfg Georg

Answer 1

Wir können ja die faktorisierte Form notieren

f(x) = (x - 1)·(x - 2)·(x - a)

Wir multiplizieren aus und erhalten:

f(x) = x^3 + (-3 - a)·x^2 + (3·a + 2)·x + (-2·a)

durch Koeffizientenvergleich mit 

f(x) = x ³-  2x^2 + ux + 6

bekommt man

-2·a = 6
a = -3

und 

-3 - a = -2
a = -1

Das gibt einen Widerspruch. Insofern können die Angaben nicht stimmen. Nehmen wir den Vorschlag von Akelei und die zweite Nullstelle ist bei -2

f(x) = (x - 1)·(x + 2)·(x - a) = x^3 + (1 - a)·x^2 + (-2 - a)·x + 2·a

2a = 6 --> a = 3
1 - a = -2 --> a = 3
-2 - a = u
u = -2 - 3 = -5

Dann könnte die Funktion

f(x) = (x - 1)·(x + 2)·(x - 3) = x^3 - 2·x^2 - 5·x + 6

lauten.

Answer 2

Es sei p(x) ein kubisches Polynom der Form x^3- 2x^2 + u x + 6, mit vorerst unbekanntem Wert u, aber der Information, dass das Polynom die zwei Nullstellen \(N_1(1|0)\) und \(N_2(-2|0)\) hat. Man bestimme die dritte Nullstelle und den Wert von u.

\(p(x)=x^3- 2x^2+ ux + 6\)

\(N_1(1|0)\):

\(p(1)=1- 2+ u + 6=u+5\)

\(u+5=0\)

\(u=-5\)

\(p(x)=x^3- 2x^2-5x + 6\)

\(x^3- 2x^2-5x + 6=(x+2)(x-1)(x-N)\)

\(x^3- 2x^2-5x + 6=(x^2+x-2)(x-N)\)

\(x^3- 2x^2-5x + 6=x^3+x^2-2x-Nx^2-Nx+2N\)

\(x^3- 2x^2-5x + 6=x^3+x^2(1-N)-x(2+N)+2N\)

Koeffizientenvergleich:

1.)
\(1-N=-2\)     \(N=3\)

2.)

\(2+N=5\)        \(N=3\) 

3.)

\(2N=6\)      \(N=3\)

Comments

Der Koeffizient von \(x^2\) auf der rechten Seite ist \(1-N\), nicht \(N-1\).

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Danke dir, ich habe es verbessert!

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zwei Nullstellen \(N_1(1|0)\) und \(N_2(-2|0)\)

Das sind dann keine Nullstellen, sondern Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

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Hallo apfelmännchen,
ich dachte bisher für Nullstellen gilt y := 0

Was stimmt deiner Meinung hier nicht ?

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Georg beachte: Punkt=(Stelle|Wert).

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Hallo Roland,
" Georg beachte: Punkt=(Stelle|Wert). "
leider verstehe ich deinen Hinweis nicht.
mfg Georg

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Nullstelle: \(x=5\)

\(N(5|0)\)

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Nach der Funktion vom coach sind die Nullstellen
der Funktion
f:= x^3 - 2*x^2 - 5*x + 6

(-2 | 0 )
( 1 || 0 )
( 3 | 0 )

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Ganz schön viel Aufwand für eine fast 11 Jahre alte Aufgabe.

Und (-2 | 0 ) ist keine Stelle, sondern ein Punkt.

Eine Stelle ist nur die x-Koordinate, also x = -2. Sind x und y-Koordinate gegeben, dann nennt man das Gebilde nicht mehr Stelle, sondern Punkt.

Ein Cabrio sind auch nur die Autos ohne oder mit abnehmbarem Dach.