Integrieren mit Gaußklammer. f(x):= x - [x] mit [.]

Question

Sei f: [0,10] definiert durch f(x) = x - [x] mit [.] Gaußklammern.

Berechnen Sie  \( \int_{0}^{10} f(x) dx \)

Integrieren im Allgemeinen würde ich hinkriegen, aber wie mache ich das mit der Gaußklammer ?

Answer 1

Summenregel: \( \int_a^bf(x)+g(x) dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx\)

Gaußklammer ist abschnittsweise konstant und kann sogar ohne Hauptsatz integriert werden.

Comments

Also integriere ich x ganz normal mit Stammfunktion und [x] bleibt wie es ist ?

Answer 2

Gaussklammer rundet ab (oder?)

∫ _(0)^1 [x] dx = 0

∫ _(1)^2 [x] dx = 1

∫ _(2)^3 [x] dx = 2

......

∫ _(0)^10 [x] dx = 0 + 1 + 2 + 3 + .... + 9 = ... selbst addieren. 

Comments

Jap rundet ab.

Ich verstehe aber nicht ganz, was du hier gemacht hast

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Das Blaue ist die Funktion g(x): = [x]

nun die einzelnen Säulen gemäss folgender Skizze addieren:

Nicht vergessen:

Am Schluss dieses Integral vom andern (ohne Gaussklammer)  subtrahieren.

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Insgesamt gibt das die Fläche zwischen Gerade und Treppe in folgender Skizze:

Das ist dann 10* eine halbe Quadrateinheit.

Also Resultat ist 5.

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Ach...ich glaube ich habe auch jetzt deinen ersten Post verstanden.

Die Zahlen links neben dem Integral sind die Grenzen, ich habe es als Potenzen gelesen und wusste nicht was du meintest.

Sähe die Rechnung dann so aus : \( \int_{0}^{1} [x] = [{[ \frac{1}{2} {x}^{2}]}^{1}_0] = [\frac {1}{2}] = [0,5] = 0 \) ?

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Ja. Das sollte ein Integral sein.

Vergiss das dx nicht.

Du brauchst da aber gar nichts mit dem Integranden zu rechnen.

Eigentlich ist die Gaussklammer ja intervallweise konstant.

∫ ₀¹ [x] dx =  ∫_(0)^1  0 dx = 0

∫ ₁² [x] dx = ∫_(1)^1 1dx = x |_(1)^2 = 2-1= 1 

∫ ₂³ [x] dx =∫_(2)^3 2 dx = 2x |_(2)^3 = 6 -  4 = 2 

......

vgl. oben.

Ich nehme an, dass ihr das geometrisch betrachtet solltet und nicht grossartig rumrechnen sollt.

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Stimmt, das dx muss noch dahinter.

Ja das mit dem geometrischen betrachten wird wohl so sein, da die andere Teilaufgabe darin besteht, dass wir die Funktion im Intervall [0,10] zeichnen sollen.

Danke.