Grenzwerte: Index bestimmen für 1 / (3^n-2)

Question

Ich solle in dieser Aufgabe bestimmen was der index ist.

Ich hab aber keine Ahnung was ein index ist und was ich machen soll.

....

 

 

    1
----------     mit e = 0,003
3ⁿ - 2

Answer 1

Was bedeutet denn e? Index deutet darauf hin, dass es etwas mit einer Reihe zu tun hat.

  1 / (3^{5,29315493916555...} - 2) = 0,003   kann nicht gemeint sein, weil n sicher eine natürliche Zahl sein muss (der Index).

Mit dem Index 5 kommt man auf 0,0041493776...

mit  n=6 kommt man auf 0,00137551582

Vielleicht muss man eine Summe bis zu einem bestimmten Index bilden.

Answer 2

Ich vermute mal, dass du beweisen musst, dass der Grenzwert der Folge 

                    1
a_n  =    ----------                  Null ist.

              3ⁿ - 2

Gemäss Definition des Grenzwertes muss es für jedes vorgegebene Epsilon > 0 ein n_Epsilon geben, ab dem die Folgen nicht mehr weiter als Epsilon vom Grenzwert, also 0 wegkommt.  n_Epsilon wäre da der gesuchte Index.

 

So was wäre zu berechnen, wenn ihr gerade die exakte Definition der Grenzwertes behandelt.

Am Beispiel mit Epsilon e = 0,003 muss die folgende Ungleichung nach n aufgelöst werden.  Am Schluss einfach n aufrunden -----> n_Epsilon

 

 

          1
  | ----------   |         <  0.003      

       3ⁿ - 2

|| sind Betragsstriche, für n>1 steht im Nenner sicher keine negative Zahl mehr. Wir können hier einfach die Gleichung auflösen und am Schluss n aufrunden.

Bitte das Folgende nachrechnen!

Zuerst mit Hauptnenner multiplizieren

1 = 0.003 (3ⁿ -2)                    |0.003               +2

1/0.003    + 2          = 3ⁿ

n = log (1/0.003    + 2    ) / log 3      = 5.29

----------> n_Epsilon = 6

 

Mögliche Probe 5,6…  für n einsetzen und feststellen, dass die 0.003 Grenze ab 6 unterschritten wird.