Konvergenz und Grenzwert prüfen / berechnen:

Question

C_n:= sqrt(n³ + n² + n + 1) - sqrt(n³ - n² + n - 1)

Es handelt sich hierbei um die dritte Wurzel!

Ich habe das ganze mal mit der "Formel" a - b = ((a  - b)(a + b)) / (a + b) versucht zu lösen. Das Ergebnis: Grauenvoll viele Terme und das Ergebnis führt zu überhaupt kein Ziel...

Daher will ich mich erkundigen, wie ihr hier die Konvergenz und den Grenzwert ermitteln würdet. Mein Problem ist hier eigentlich nur, das Ganze so umzurechnen, dass man damit die Konvergenz und den Grenzwert zeigen kann...

LG

Comments

Der Prof. zeigt dies folgend:

x_n:= sqrt(n³ + n² + n + 1) ; y_n:= sqrt(n³ - n² + n - 1) DRITTE WURZEL!!

c_n = x_n - y_n = (x³_n - y³_n) / (x²_n + x_ny_n + y²_n).

Warum er die dritte Potenz verwendet verstehe ich, so kann man bei den obigen Termen die Wurzel entfernen. Ich verstehe jedoch die "Formel" an sich nicht komplett, da unten " (x²_n + x_ny_n + y²_n) " steht. Woher leitet sich der Prof. diese "Formel" her?

LG

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Ich verstehe den markierten Schritt nicht.

Betrachte man nur einen Teil der Gleichung darüber: 1/(n²) * (sqrt((n³ + n² + n + 1)²). Und daraus soll sqrt(1 + 1/n + 1/n² + 1/n³)² folgen? Wie das? Seit wann ergibt denn 1/(n²) * n³ = 1 ? Da kommt meiner Meinung nach n raus....

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https://www.google.de/search?q=a^3-b^3%3D(a-b)(a^2%2Bab%2Bb^2)

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Vielen Dank dafür, jetzt habe ich noch eine Frage offen:

Man erkennt, dass im zweiten Schritt der Umformung, die Gleichung oben und unten * 1/n² genommen.

Ist es legitim, aus der oberen Hälfte n² zu ziehen, und unten n⁴ ? Denn so würde ich auf eine sinnvolle Gleichung kommen, für welche der limes mit n gegen unendlich auch 2/3 ergibt. Nur einmal aus der unteren Hälfte n² zu entfernen macht keinen Sinn.

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ich verstehe folgenden Teil einer Umrechnung nicht:

Ich verstehe nicht, wieso man von der zweiten Umformung auf die dritte Umformung (Die blau markierte Umformung) kommt. Es ist mir ein Rätsel (Nur der erste Term) wie aus 1/n² * sqrt((n³ + n² + n + 1)²) (Dritte Wurzel) dann sqrt((1 + 1/n + 1/n² + 1/n³)²) werden kann..

Brauche Hilfe :-(

Answer 1

Ist es legitim, aus der oberen Hälfte n² zu ziehen, und unten n⁴ ?

Dann könnte man natürlich nicht kürzen, aber es ist unten auch n^2 rausgezogen worden,

denn die Terme waren ja von der Art

3. Wurzel aus ( ( n^3  + ...) ^2 )

= 3. Wurzel aus (n^6 * ( 1  + ...) ^2 )

= n^2 *  3. Wurzel aus ( ( 1  + ...) ^2 ).

Answer 2

1/n² würde weggekürzt, das ist wohl klar. Danach wurde mit n² gekürzt.

Im Zähler entsteht dadurch 2(n² + 1)/n² = 2(n²/n² + 1/n²) =2(1 + 1/n²).

Der Erste Summand des Nenners wird dadurch zu:

³√(n³+n²+n+1)² : n² = ³√(n³+n²+n+1)² · n^-2 = ³√(n³+n²+n+1)² · (n^-6)^1/3 = ³√(n³+n²+n+1)² · ³√(n^-6) = ³√((n³+n²+n+1)²·n^-6) = ³√((n³+n²+n+1)²·(n^-3)²) = ³√(((n³+n²+n+1)·n^-3)²) = ³√(1+1/n+1/n²+1/n³)²)

Comments

Hallo oswald,

zuerst wurde mit 1/n² erweitert und dann jeweils in die Klammer bzw. die Wurzel hineingezogen.

Es macht kein Sinn erst 1/n² und dann mit n² zu kürzen. Das würde sich genau aufheben. Musste aber auch 2 mal hinschauen.

Gruß

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Vielen Dank oswald!

Und danke für die Bemerkung snoop :-)