Stammfunktion berechnen bei E-Funktion f(x)=(x²-4)*e^{-x}

Question

Hallo. Ich bräuchte  Hilfe... :/

Und zwar ist eine Funktion gegeben: f(x)= (x²-4)*e hoch -x

Hierzu soll ich nun die Stammfunktion berechnen. Nur bin mir sehr unschlüssig ob mein Ergebnis richtig ist, da ich irgendwie die richtige Vorgehensweise weiß.

Meines Erachtens ist nun u(x)= (x²-4) und v`(x)= e hoch  - x

Und dann habe ich für u=2x und für v= -e hoch -x raus.

Jedoch weiß ich dann, trotz Formel nicht genau wie ich es berechnen soll....

Wäre so toll, wenn mir wer helfen könnte.....

Lieben Gruß

Answer 1

Ja, die partielle Integration ist zielführend. Zweifach braucht man sie sogar, was Dich verwirren mag ;).

 

∫(x²-4)*e^{-x}=-(x^2-4)e^{-x}-∫2x(-e^{-x})

=-(x^2-4)e^{-x}-(2x*e^{-x}-∫2e^{-x}) = -(x^2-4)e^{-x}-2xe^{-x}+2e^{-x} = -x^2-2xe^{-x}+2e^{-x}

 

(beachte, dass die Vorzeichen durch die das e^{-x} und dessen Integration mehrfach hin- und herwechseln)

Beachte außerdem die rote Klammer. Das ist die zweite partielle Integration und es ist unbedingt das Vorzeichen des ganzen Ausdrucks zu berücksichtigen!

 

Alles klar?

Grüße