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Vektorraum beliebiger Dimension: T linearunabhängige Teilmenge von V. T zu einer Basis von V ergänzen
Um zu zeigen, dass man eine linearunabhängige Teilmenge \(T\) eines Vektorraums \(V\) (über einem Körper \(K\)) zu einer Basis von \(V\) ergänzen kann, gehen wir schrittweise vor.
Ein wichtiger Satz aus der Theorie der Vektorräume besagt, dass jede linearunabhängige Menge von Vektoren in einem Vektorraum zu einer Basis des Vektorraums erweitert werden kann. Ein Beweis dieses Satzes verwendet typischerweise das Zornsche Lemma, ein Prinzip aus der Mengenlehre, das in der Theorie der Vektorräume sehr nützlich ist, um Existenzaussagen zu treffen, insbesondere in Situationen, in denen die Dimension des Vektorraums nicht endlich ist.
Schritt 1: Verwendung des Zornschen Lemmas
Das Zornsche Lemma besagt, dass in einer teilweise geordneten Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, mindestens ein maximales Element existiert.
Um das Zornsche Lemma anwenden zu können, müssen wir zunächst eine geeignete Menge und eine Ordnungsrelation definieren:
- Wir betrachten die Menge \(\mathcal{F}\) aller linearunabhängigen Teilmengen von \(V\), die \(T\) als Teilmenge enthalten. \(T\) selbst gehört zu \(\mathcal{F}\), also ist \(\mathcal{F}\) nicht leer.
- Als Ordnungsrelation auf \(\mathcal{F}\) dient die Mengeninklusion. Das heißt, für zwei Elemente \(T_1, T_2 \in \mathcal{F}\), sagen wir \(T_1 \leq T_2\), wenn \(T_1\) eine Teilmenge von \(T_2\) ist.
Schritt 2: Nachweis, dass jede Kette eine obere Schranke hat
Nehmen wir eine Kette \(C\) in \(\mathcal{F}\). Eine obere Schranke dieser Kette ist eine linearunabhängige Menge von Vektoren in \(V\), die alle Mengen in \(C\) als Teilmengen enthält. Die Vereinigung aller Mengen in \(C\) ergibt eine solche obere Schranke. Es muss noch gezeigt werden, dass diese Vereinigung linearunabhängig ist. Da jedoch alle Elemente der Kette linearunabhängige Mengen sind, deren Vereinigung lediglich eine größere linearunabhängige Menge bildet, bleibt die Linearunabhängigkeit erhalten.
Schritt 3: Existenz eines maximalen Elements
Aus dem Zornschen Lemma folgt, dass es in \(\mathcal{F}\) mindestens ein maximales Element geben muss. Nennen wir dieses maximale Element \(B\). Da \(B\) maximal in \(\mathcal{F}\) ist, kann kein Element zu \(B\) hinzugefügt werden, ohne seine Linearunabhängigkeit zu verlieren. Das bedeutet auch, dass der von \(B\) erzeugte Unterraum ganz \(V\) ist. Andernfalls könnte ein Vektor außerhalb dieses Unterraums zu \(B\) hinzugefügt werden, wodurch eine größerer linearunabhängiger Satz entstünde, was der Maximalität von \(B\) widersprechen würde.
Fazit
Also ist \(B\) eine Basis von \(V\), die \(T\) als Teilmenge enthält. Damit ist gezeigt, dass jede linearunabhängige Teilmenge \(T\) eines Vektorraums \(V\) zu einer Basis von \(V\) ergänzt werden kann.
