Warum kann man hier kein L'Hospital anwenden?

Question

Eine alte Quizfrage zur Unterhaltung: Es sei $$f(x)=x+\sin x \cos x$$ und $$g(x)=[x+\sin x \cos x]\exp(\sin x).$$ Warum gilt nicht $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}?$$ (Der erste Limes ist vom Typ \(\infty/\infty\) und existiert offensichtlich nicht, der zweite existiert aber und ist null. Wo bleibt da L'Hospital?)

Answer 1

Hi,

im ersten Teil hast Du doch "∞/∞" vorliegen. Man kommt also in Versuchung l'Hospital zu verwenden. Nach Anwenden von diesem, stellt sich aber heraus, dass der Ausdruck "unbestimmt divergent" ist. Damit führt l'Hospital zu keiner Aussage, welcher nur angewendet werden kann, wenn bestimmte Divergenz vorliegt.

Grüße

Answer 2

Genau hab ich mir das nicht überlegt, aber es müsste an den Nullstellen von \(g'\) liegen, oder?

Comments

@Gast: Reicht dir das noch nicht als Antwort? ;)

Answer 3

Oszillierer und Unbestimmte sollten wenigstens richtig rechnen: $$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2\cos x}{[x+\sin x \cos x +2\cos x]\exp\sin x}\to0\quad\text{fuer $x\to\infty$}$$

Comments

ia2277 auch.

a.) hege ich Zweifel an deiner Ableitung für f ´

b.) bin ich mittlerweile der Ansicht von Nick

min und max bei der Anwendung von L´Hospital geht gegen 0

aber es sind Lücken vorhanden bei g´= 0

Hier der Graph

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Die Ableitungen von f' und g' haben einen zusaetzliche Faktor cos x, den man kuerzen kann? Man soll ja schliesslich den lim f'/g' bestimmen und nicht f' und g' untersuchen?

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Der Graph zeigt  f ´ / g´

Answer 4

der zweite existiert aber und ist null.

Wieso ergibt sich bei L´Hospital null ?

Desweiteren : Beide Funktionen oszillieren bis in alle Ewigkeit.
Es kann von dieser Überlegung her keinen festen Wert für den Quotienten
geben.