Exponentialfunktion g(t) = M*t*e^{-t^2} beschreibt Abbau des Giftes im Magen?

Question

Nach oraler Einnahme einer Menge M einer giftigen Substanz wird sie aus dem Magen Darmtrakt über Verdauung in den Blutkreislauf transportiert. Der Abbau des Giftes im Magen lässt sich durch g(t) = M*t*e^-t^2 beschreiben, wobei t >= 0 die nach der Einnahme vergangene Zeit (in Stunden) ist. Vier Stunden nach der Einnahme wird ein Gegenmittel verabreicht, womit das im Magen  verbliebene Gift neutralisiert wird.

(i) Wieviel Gift (als Anteil von M) ist insgesamt in das Blut übergegangen?

(ii) Zu welchem Zeitpunkt nach der EInnahme war die Hälfte der insgesamt aufgenommenen Giftmenge bereits in das Blut übergegangen?

Answer 1

  meine Ansicht : die Angelegenheit ist etwas kniffelig weil etwas Einarbeitung in den Sachverhalt
vonnöten ist

  g(t) = M*t*e^{-t²} ( t >= 0 die nach der Einnahme vergangene Zeit (in Stunden) )

  M jetzt ich mal als Beispiel in gramm ein, dabei habe ich als Einheit gramm * stunden / stunden^2, also

  gramm/std. Es handelt sich also um eine Geschwindigkeits-Funktion.

  Der Einfachheit halber lasse ich jetzt M weg da uns nur die % - Anteile interessieren.

  h(t) = t * e^{-t^2}

 " Vier Stunden nach der Einnahme wird ein Gegenmittel verabreicht, womit das im Magen  verbliebene Gift neutralisiert wird.
(i) Wieviel Gift (als Anteil von M) ist insgesamt in das Blut übergegangen?    "

 ₀ ∫⁴ h(t) * dt 
 ₀ ∫⁴  t * e^{-t^2} * dt
 [ -1/2 * e^{-t^2} ]₀⁴
0.4999999437 = 49.99999437 %

Einige Werte der Integralfunktion

0 Std =  0.0 %
1 Std = 31.6 %
2 Std = 49.1 %
∞ Std = 50.0 %

Deutungsmöglichkeit : es handelt sich um die Aufnahme des Giftstoffs in das Blut.

Antwort : nach 4 Std sind 49.99999437 % des Gilfts in das Blut übergegangen.

" ii) Zu welchem Zeitpunkt nach der EInnahme war die Hälfte der insgesamt aufgenommenen Giftmenge bereits in das Blut übergegangen? "

 Antwort : erst gegen t = ∞ Std

  Ob dies die korrekte Antwort ist hängt hauptsächlich davon ab ob der Sachverhalt richtig
dargestellt worden ist.

  mfg Georg

Comments

Daumen hoch. Ich hatte den Sachverhalt falsch verstanden gehabt. Du hast das aber richtig durchblickt. Ich habe für ii) noch etwas anderes raus. Aber das ist in der Aufgabe unklar formuliert.

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Hier der Graph der Funktion h(t) = t * e^{-t^2}

Nach 4 Std bis zur Neutralisation
₀ ∫⁴ h(t) * dt  = 0.4999999437 = 49.99999437 %
Endwert
lim a -> ∞  ₀ ∫^a h(t) * dt = 0.5

Orginalfrage "
(ii) Zu welchem Zeitpunkt nach der EInnahme war die Hälfte der insgesamt aufgenommenen Giftmenge bereits in das Blut übergegangen?
Nach obiger Ausfühung bei t = ≈. Die Frage würde also eine falsche Aussage enthalten.

  mfg Georg

Answer 2

Die folgende Rechnung ist verkehrt.
Bitte die Lösung weiter unten im Kommentar beachten.

g(t) = m·t·e^{- t^2}

g'(t) = m·e^{- t^2}·(1 - 2·t^2)

(i) Wieviel Gift (als Anteil von M) ist insgesamt in das Blut übergegangen?

Hochpunkt g'(t) = 0
1 - 2·t^2 = 0
t = √2/2

g(√2/2) = 0.4288819424m

Es sind also 42.89% von M ins Blut über gegangen

(ii) Zu welchem Zeitpunkt nach der Einnahme war die Hälfte der insgesamt aufgenommenen Giftmenge bereits in das Blut übergegangen?

g(t) = 0.2144409712·m
m·t·e^{- t^2} = 0.2144409712·m
t·e^{- t^2} - 0.2144409712 = 0

Hier benutze ich ein Näherungsverfahren

t = 0.2256417858 h = 13.54 min

Comments

Fehlerhinweis

f ( x ) = m·t·e^{- t^2}

besser

f ( t ) = m·t·e^{- t^2}

mfg Georg

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georgborn hat denke ich besser gerechnet. die Funktion g(t) beschreibt nicht wie ich fälschlich dachte die Menge sondern die Abbaugeschwindigkeit.

g(t) = m·t·e^{-t^2}

G(t) = m/2·(1 - e^{- t^2}) [Ich habe G(t) schon normiert das G(0) = 0 ist.]

(i) Wieviel Gift (als Anteil von M) ist insgesamt in das Blut übergegangen?

G(4) = 0.5·m

(ii) Zu welchem Zeitpunkt nach der EInnahme war die Hälfte der insgesamt aufgenommenen Giftmenge bereits in das Blut übergegangen?

G(t) = 0.25·m
m/2·(1 - e^{- t^2}) = 0.25m
(1 - e^{- t^2}) = 0.50
t = 0.8325546111 h = 49.95 min