Differenzialrechnung. Extremalwertaufgabe. Blechdose fasst 5 dm^3. Möglichst wenig Blech?

Question

Wir haben im unterricht so angefangen kann mir jemand bitte weitergelfen?

Answer 1

Ein Zylinder mit gegebenem Volumen soll eine minimale Oberfläche haben.

Nebenbedingung

V = pi·r^2·h

h = V/(pi·r^2)

Hauptbedingung

O = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2

O = 2·pi·r·(V/(pi·r^2)) + 2·pi·r^2

O = 2·pi·r^2 + 2·V/r

Extremstellen O' = 0

O' = 4·pi·r - 2·V/r^2 = 0

4·pi·r^3 - 2·V = 0

4·pi·r^3 = 2·V

r = (V/(2·pi))^{1/3}

h = V/(pi·r^2) = V/(pi·((V/(2·pi))^{1/3})^2) = (4·V/pi)^{1/3} = 2·r

Answer 2

Dies ist eine sogenannte Extremwertaufgabe

Aufgestellt wird die Formel für A  in Abhängigkeit von der
Variablen r, Dann die 1-Ableitung bilden, zu null setzen und r berechnen.
Das Ergebnis stimmt.



Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

Comments

Bei A'(v) wieso die minus und r^2 das habe ich nicht verstanden

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Die normalen Ableitungsregeln wurden angewandt

( π * r^2 ) ´= 2 * π * r

( 5000 / r  ) ´ =  5000 * r^{-1} = 5000 * r^{-1-1} * ( -1) = - 5000 * r^{-2} = -5000 / r^2

Die Quotientenregel kann auch angewandt werden.