Sei f : R -> R eine streng monoton wachsende Funktion. Norm

Question

ich brauche zu diesen folgenden Aufgaben Hilfe.

bei a) ist einfach nur alle Axiome von Metrik überprüfen ?

1. Axiom :  d(x,y) =>0 für alle x,y aus X,

|f(x) -f(y) | => 0 .

->  1.Axiom erfüllt

2. Axiom : d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y

f(x) = f(y) .

 -> 2.Axiom erfüllt.

bevor ich weiter mache, ist das soweit richtig ? Habe ich es richtig verstanden ?

Answer 1

bei a) ist einfach nur alle Axiome von Metrik überprüfen ?

ja genau das.

2. Axiom : d(x,y) = 0 genau dann, wenn x = y

f(x) = f(y) .

 -> 2.Axiom erfüllt.

Das wichtigste hast du doch vergessen zu sagen und zwar warum nun das 2. Axiom überhaupt gilt.

Gruß

Comments

zum 2.Axiom "f(x) = f(y) " gilt weil d(x,y) = 0 -> f(x) -f(y) = 0 -> f(x) = f(y)

ist das so richtig ?

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Dass \(|f(x)-f(y)|=0 \Leftrightarrow f(x)=f(y)\) gilt, ist ja relativ unspektakulär, aber damit bist du ja noch lange nicht fertig. Du musst jetzt auch noch begründen warum das äquivalent zu \(x=y\) ist. (auch nicht sonderlich spektakulär ^^)

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ah ok verstehe was du meinst, aber warum das zu x=y kommt, weiß ich nicht.

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Dieser Zusammenhang "\(f(x) = f(y) \Leftrightarrow x=y\)" müsste dir aber schon mal über den Weg gelaufen sein.

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hm... ich komme jetzt grade nicht drauf

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Ein Tipp, es ist kein Bestandteil die Surjektivität einer Funktion

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okay, ehm... das sag mir jetzt nichts. sry, komme irgendwie nicht drauf.

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Die Funktion muss injektiv sein, und das ist sie, da sie nach Voraussetzung streng monoton wachsend ist.
Du solltest unbedingt Analysis 1 Grundlagen wiederholen. Das gehört wirklich zu den aller untersten Basics.

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okay vielen Dank.

zu Axiom 3) d(x,y) = d(x,y)

|f(x)-f(y)| = |(f(y) - f(x)|

Axiom drei erfüllt

richtig?

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d(x,y) = d(y,x) meinst du. Ja und 
1+1 = 2
in den reellen Zahlen.

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danke. und jetzt zu axiom vier : d(x,z) <= d(x, y) + d(y, z)

wie gehe ich davor ?

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Analysis 1 wiederholen

Stichwort: Eigenschaft des Betrages

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ja, also meine frage ist eher muss ich da irgendwie auch z reinbringen ?

eigentschaften des betrags : wurzel aus x^2 +y^2

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also so :

|f(x) - f(z) | <= |(f(x) - f(y)| + |f(y) - f(z)|

?

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Den ersten Kommentar vergiss mal ganz schnell wieder, wir sind hier nicht bei den Komplexen Zahlen.

Zum Zweiten: Ja genau das ist zu zeigen.

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wie zeige ich das ? : D

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Eigenschaften des Betrags. Echo.

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eigentschaften des betrags, ist einfach dass das ergebnis auch wenn das ergbnis negativ ist , durch den betrag positiv wird.

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Ich geb auf, Dreiecksungleichung.

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jap, habs ! :) danke für deine HIlfe.