Question

Gegeben sind die Funktionen f(x)= (x² - 1)^2 und g(x) = - (x² -1) * (x+1)

a) Gibt es Stellen,an denen die Funktionen f und g die gliche Steigung haben? Wie viel solche Stellen gibt es?

f(x) x⁴ - 2x² +1

f'(x)= 4x³ -4x

g'(x)= -3x²  -2x +1

g´(x) = f'(x)

-4x³ -3x^2 +2x +1 = 0 II / (-4)

x³ + 3/4x^2 - 1/2x - 1/4=0

Ich weiss, dass man x durch Polynomdivision erhält, aber das hatte ich noch nie im Matheunterricht gelernt. Gibt es eine andere Methode?

Danke:)

Answer 1

f(x) = (x^2 - 1)^2

f'(x) = 4·x·(x^2 - 1) = 4·x^3 - 4·x

g(x) = - (x^2 - 1)·(x + 1)

g'(x) = - 3·x^2 - 2·x + 1

Stellen mit gleicher Steigung

f'(x) = g'(x)

4·x^3 - 4·x = - 3·x^2 - 2·x + 1

4·x^3 + 3·x^2 - 2·x - 1 = 0

Eine Nullstelle bei -1 --> Polynomdivision

(4·x^3 + 3·x^2 - 2·x - 1) / (x + 1) = 4·x^2 - x - 1

4·x^2 - x - 1 = 0

x = 1/8 ± √17/8

Comments

Du kannst die Polynomdivision oder das Horner Schema durchführen. Das Horner Schema ist um einiges einfacher denke ich. Aber auch das hattet ihr eventuell noch nicht im unterricht.

Answer 2

Programmierbarer TR

oder Online-Rechner:

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision

Answer 3

x³ + 3/4x² - 1/2x - 1/4 = 0

Soweit ist alles richtig.

1 Nullstelle kann man vielleicht erraten x = -1.
Es gibt noch 2 weitere Nullstellen denen man sich durch Polynomdivision
nähern kann
x = -0.39
x = 0.64

Die Polynomdivision im Rahmen dieser Aufgabe über das
Internet zu erklären ist für mich nicht möglich.
Führe sie aber gern einmal vor.

mfg Georg

~plot~ x^3 + 3/4 * x^2 -1/2 * x -1/4 ~plot~