a) Ich möchte beginnen mit der Definition: Was ist eigentlich eine Polstelle?
DEFINITION
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y = f ( x ) hat eine n-fache Polstelle in x0, falls die Funktion g ( x ) in ( 1a ) stetig ist in einer ( offenen ) Umgebung von x0 .
g ( x ) := f ( x ) ( x - x0 ) ^ n ( 1a )
Mit f sind damit auch alle Funktionswerte von g fest gelegt - mit Ausnahme von g ( x0 ) natürlich. Wegen der Stetigkeit ist aber folgende Definition Sinn voll
g0 := g ( x0 ) := lim g ( x ) ( 1b )
x ===> x0
g0 < > 0 ( 1c )
Dabei erweist sich Ungleichung ( 1c ) als wesentlich; sonst könnte n ja fast alles sein.
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Aufg 1a) ließe sich dahin gehend interpretieren: Welche Ordnung hat die logaritmische Singularität?
Ich schlage folgende Substitution vor.
ln ( x ) =: - z ( 2a )
x = exp ( - z ) ( 2b )
ln ( x ) x ^ q = - z exp ( - q z ) ===> ( - 0 ) ( 2c )
Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel.
Und zwar ergibt sich Grenzwert ( 2c ) aus der Regel:
" Die e-Funktion unterdrückt jedes Polynom. "
Wir kommen damit zu dem erstaunlichen Ergebnis:
" Jede noch so schwache Potenz unterdrückt die logaritmische Singularität. "
Das geht natürlich nur, weil Limes ( 2c ) verschwindet im Widerspruch zu ( 1c )
Bei der logaritmischen Singularität handelt es sich NICHT UM EINE POLSTELLE .
Auf die b) setzen wir zwei Verdauungsfermente an. Ignorieren wir erst mal den transzendenten logaritmischen Term; dann haben wir eine Polynomdivision durch Linearfaktor ( PDLF )
f ( x ) := x ² ( 3a )
f ( x ) : ( x + 1 ) = m x + b Rest f ( - 1 ) ( 3b )
Im Internet wurde anonym entdeckt, dass PDLF äquivalent Hornerschema. Bei quadratischen Polynomen ist dieses Schema fast schon zu einfach, als dass das allgemeine Prinzip deutlich würde.
p2 ( f ) := a2 ( f ) = 1 = m ( 3c )
p1 ( f ; -1 ) := - p2 + a1 ( f ) = -1+0 = ( -1 ) = b ( 3d )
p0 ( f ; -1 ) := - p1 + a0 ( f ) = 1+0 = 1 = f ( -1 ) ( 3e )
x ² : ( x + 1 ) = x - 1 + 1 / ( x + 1 ) ( 3f )
( Die Probe auf ( 3f ) macht ihr sofort mit der 3. binomischen. )
Ihr missbraucht die PD für alle möglichen Zwecke, wo es längst leichtere Alternativen gibt. In ( 3f ) gelingt es uns, einen asymptotisch konvergenten Term abzuspalten:
1 / ( x + 1 ) - 1 ===> ( - 1 ) ( 4a )
Auf Grund eines ===> Grenzwertsatzes kommt hier nur dann etwas Vernünftiges raus, wenn die Differenz aus dem logaritmischen Term und dem x einen endlichen Grenzwert hat:
lim = 1 + lim x ² ln ( 1 + 1 / x ) - x = 1 + ( °° ) * 0 - ( °° ) ( 4b )
( Immer wieder melden sich hier Kantonisten, es gebe einen Grenzwertsatz für " Unendlich Minus Unendlich " ; das ist nicht definiert. )
Wir kommen vom Regen in die T(r)aufe; uns fehlt die für die Krankenhausregel ( KR ) unerläsliche Bruchdarstellung. Da ich weder ===> Gutenberg noch Bösental bin, muss ich zitieren. Und zwar gibt es bei der Konkurrenz ===> Ly cos einen User, ein Genie ( Die haben sogar mehrete; Namen kann ich nie behalten; es wäre ja eh nur ein Pseudonym. )
Ich weiß, wie hier ( und überall ) die Grenzwerte von Quadratwurzeln berechnet werden für x ===> ( °° ) ( Kopf schüttel ) Mein Gewährsmann gibt eine Transformation an, welche alle, auch Kubik-oder 4 711. Wurzeln, über einen Kamm schert; die ===> Inversion am Einheitskreis . Genau hier machen wir eine Anleihe; die Inversion ist folgender Maßen definiert
z := 1 / x ; z ===> 0 ( 4c )
Die Inversion erschlägt gleich vier Fliegen mit einer Klatsche:
1) Der uneigentliche Punkt rückt ins Endliche.
2) Die KR wird anwendbar.
3) Der Bruchterm unter dem Logaritmus verschwindet.
4) Gleich nach Anwendung der KR überleben nur noch algebraische Terme ( keine transzendenten )
ICH lerne immer gerne was Neues; auf diese Inversion erhielt ich mal den Kommentar
" ' Für Was lernt ' man uns eigentlich ' Definitionsbereich ' , wenn ich die Aufgabe lösen kann, indem ich den Definitionsbereich transformiere? "
Die Invertierte von ( 4b ) lautet
ln ( z + 1 ) - z 0 - 0
lim = 1 + lim ------------------------------ = 1 + -------------- ( 4d )
z ² 0
1 / ( z + 1 ) - 1
= 1 + 1/2 lim ------------------------------------ = ( 4e )
z
z
= 1 - 1/2 lim -------------------------- = ( 4f )
z ( z + 1 )
= 1 - 1/2 lim 1 / ( z + 1 ) = 1/2 ( 4g )
Mein Standpunkt. Es ist alles eine Frage des Stils; das sagte schon die ( völlig ungebildete ) 12-jährige Tochter meiner Putzfrau. Ein ===> Juso gab mal eine Zeitung heraus " der Holzhammer " ; das zeugt von schlechtem Geschmack. Holzhammermetoden gehören nicht in die Matematik; ihr seid angehalten, die Lösung kompakter, eleganter und übersichtlicher zu präsentieren als ich. Eleganz vermindert auch Anzahl und Schwere der Rechenfehler.
Für die Richtigkeit der Endergebnisse wird keine Pistole übernommen.
An sich wäre es mir lieber gewesen, die c) vorzuziehen . Die Sache ist nämlich die: Dieser Wurzelschrat bedurfte an sich zweier Standardmetoden, um seine Wurzeln zu knacken. Neben die Inversion tritt eine Anwendung des Differenzenquotienten ( DQ )
Die DQ-Metode ist extrem elegant, sie setzt allerdings voraus, dass du eine Intuition entwickelst, von welcher Funktion hier überhaupt der DQ zu bilden ist. Im Falle c) ist es
f ( x ) := x / sinh ( x ) ( 5a )
f ( 0 ) = 1 ( 5b )
)( max Zdichen
