l'hospital bei Wurzel anwenden

Question

Hallo habe den Grenzwert

Lim (x->2) (x-2)/√(x^2-4)

Würde nun l'Hospital anwenden da Zähler und Nenner gegen 0 laufen. Im Zähler kommt 1 raus, das ist mir klar, aber was genau kommt im nenner hin? Hätte gedacht √(2x) aber bei Wolframalpha kriege ich x/√(x^2-4) raus, kann mir vielleicht einer erklären wie genau man darauf kommt?

Danke :)

Answer 1

[ √(x² -4) ] ' = [ √u ] ' = 1/ [ 2•√u ]   • u'     (Kettenregel)

 = 1/ [ 2 • √(x² -4) ]   •  [ x² - 4] ' 

=  1/ [ 2 • √(x² -4) ]  • 2x

= x / √(x² - 4)          [ → ∞ für x → 2⁺]

Gruß Wolfgang

Answer 2

aber was genau kommt im nenner hin? ... kann mir vielleicht einer erklären wie
genau man darauf kommt?

Zuerst die etwas längere Herleitung über die Potenzregel

Dann die Kurzfassung zum merken.

Answer 3

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es ist -> Lim (x->2) (x-2)/√(x^2-4) = 0  ... für x → 2⁺

denn ->
(x-2)/√(x^2-4)  = sqrt[ (x-2)^2 / (x^2-4) ] = sqrt[(x-2)/(x+2)] -> 0 für  x → 2⁺

ok?

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