Wendepunkte in Abhängigkeit von t: f(x)= (1/8)x^4+(1/4)t*x^3-(5/4)x+t^2-2

Question

wie bestimmt man die Anzahl der Wendepunkte in Abhängigkeit von t.

f(x)= (1/8)x⁴+(1/4)t*x³-(5/4)x+t²-2

Und wie geht das ?

Berechnen Sie alle Werte von t, für die die Gerade mit der Gleichung y=-(5/4)x-40 das Schaubild Kt berührt.

Comments

Bei einem Wendepunkt ist die zweite Ableitung Null und die dritte Ableitung nicht Null.

Die zweite Ableitung lautet 3/2 x^2 + 3/2 t x
Die dritte Ableitung lautet 3 x + 3/2 t

Die zweite Ableitung hat eine Nullstelle (nämlich bei x=0) wenn t=0, und zwei Nullstellen wenn t≠0.

Falls t=0 ist die dritte Ableitung bei der Nullstelle Null, d.h. es gibt keine Wendepunkte.

Falls t≠0 sind die Nullstellen der zweiten Ableitung bei x = -t und bei x = 0. Die dritte Ableitung ist ungleich Null bei x = -t und ungleich Null bei x=0, d.h. es gibt dann zwei Wendepunkte.

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Berechnen Sie alle Werte von t, für die die Gerade mit der Gleichung y=-(5/4)x-40 das Schaubild Kt berührt.

f ' (x) = -5/4 damit die Steigung stimmt.

x^3/2 + 3t x^2 / 4 -5/4 = -5/4

x^2 ( x/2 + 3t/4 ) = 0

x=0    v     x/2 = -3t/ 4

 x=0    v       x = -3t/2

also für x=0

f (0) = t^2 - 2     muss dann gleich -40 sein

t^2 - 2     = -40

t^2 = -38

Das ist offenbar nie der Fall.

Also für x= -3t/2 prüfen für welche t dann

f(-3t/2)   =  ( -5/4)* (-3t/2) - 40    ist.

Answer 1

Frage nach der Anzahl der Wendepunkte: zweite Ableitung Null seten. Anzahl der Lösungen (hier 2) bestimmen.

Answer 2

f(x) = 1/8·x^4 + 1/4·t·x^3 - 5/4·x + t^2 - 2

f'(x) = 1/2·x^3 + 3/4·t·x^2 - 5/4

f''(x) = 3/2·x^2 + 3/2·t·x = 3/2·x·(x + t)

Für t <> 0 also 2 Wendepunkte.

Für t = 0 nur einen Flachpunkt.

Comments

1/2·x^3 + 3/4·t·x^2 - 5/4 = - 5/4 --> x = - 3/2·t ∨ x = 0

1/8·x^4 + 1/4·t·x^3 - 5/4·x + t^2 - 2 = - 5/4·x - 40

Für x = 0 --> t^2 - 2 = -40 --> Keine Lösung

Für x = - 3/2·t --> - 27·t^4/128 + t^2 + 15·t/8 - 2 = 15·t/8 - 40 --> t = ± 4 

Answer 3

f ' ' (x) bilden, gibt

 f ' ' (x) = 1,5x^2 + 1,5*t*x

f ' ' (x) = 0          1,5x^2 + 1,5*t*x= 0

                        1,5*x * (  x + 1,5t ) = 0

                            x = 0   v    x = -1,5t

f ' ' '(x) = 3x + 1,5t  also f ' ' ' (0) = 1,5t  

                                          f ' ' ' (-1.5t) = -3t

also für t ≠ 0 immer 2 Wendepunkte.

Für t=0  gibt es nur einen Kandidaten x=0

mit f ' ' ' (x) = 0 und f ⁽⁴⁾ (0) = 3  also ist dort ein Extrempunkt.