Linear Abbildung mit Kern U = {t.(1,2,-5)^T | t € R } bestimmen?

Question

Es sei folgender Unterraum von R^3 gegeben : U = {t.(1,2,-5)^T | t € R }

i) Geben Sie irgeneine lin. Abb. f ; R^3 --> R^2 an, deren Kern U ist; das kann mittels der zu f gehörigen Matrix geschehen.

ii) Gibt es auch eine lin. Abb. g : R^3 --> R mit Kern(g) = U ?

Answer 1

Hi,

U = ker(f) bedeutet, dass f(x)=0 für x ∈ U
a) eine Abbildungsmatrix A :ℝ^3 --> ℝ^2 hat allgemein die Form: A= ([a,b,c],[d,e,f]) 
(Die eckigen Klammern sollen die Zeilen der Matrix darstellen)
Es soll nun gelten A*(1,2,-5)^T = (0,0)^T
Man erhält die beiden Gleichungen
a+2b-5c = 0
d+2e-5f = 0
Da 6 Variablen und nur 2 Gleichungen gegeben sind, kann man 4 Variablen als Parameter frei wählen,
 z.B a=b=d=e=1-->
3-5c = 0
3-5f = 0
c = f = 3/5
b) Die allgemeine Matrix lautet: g = [a,b,c] --> a+2b+c = 0 --> a=b=1 , c=3/5