Sinus-Cosinussatz, Textaufgaben

Question

Hi, könnte mir bitte jemand mit Beispiel  8 und 9 helfen ? Ich schaffe es nichtmal eine Skizze zu erstellen :-/

Aufgabe 8:

Ein alter Turm steht in einer Ebene. Um seine Höhe zu bestimmen, steckt man in der Ebene eine 100 m lange Standlinie AB ab, so dass A, B und der Fußpunkt des Turms (in dieser Reihenfolge) in einer Linie liegen. Von A aus misst man zur Turmspitze den Höhenwinkel α = 15,8°, von B aus den Höhenwinkel β = 38,1°. Wie hoch ist der Turm?

Auf einem Berggipfel steht ein 40 m hoher Sendemast. Von einem Ort A im Tal sieht man den Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel α = 31,0°, die Spitze unter dem Höhenwinkel β = 34,2°. Wie hoch ist der Berg?

Aufgabe 9:

Zwei Schiffe laufen zur gleichen Zeit vom selben Hafen aus. Das eine fährt unter dem Kurswinkel 15° mit der Geschwindigkeit 60 km/h, das andere unter dem Kurswinkel 128° mit 40 km/h. Wie weit sind die beiden Schiffe nach einer halben Stunde voneinander entfernt? (Der Kurswinkel wird von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen.)

Answer 1

Hallo Lirik,

Sinus, Cosinus, Tangens und Cosinussatz setze ich jetzt einfach einmal voraus. Sonst nochmal nachfragen bzw. die Hilfeseiten hier oder Wikipedia bemühen.

Aufgabe 8 Turm

Skizze ist nicht passend zu den Winkeln und Entfernungen etc. aber sollte es veranschaulichen.

~draw~ polygon(-5|1 -3|1 3|5);punkt(-5|1 "A");punkt(-3|1 "B");punkt(3|5 "D");punkt(3|1 "T");kreissektor(-3|1 1 0 33);kreissektor(-5|1 1 0 27);rechteck(3|1 0 4);zoom(6) ~draw~

gegeben \( \alpha , \beta\) und  \( \overline{AB} \) sei \( d \)

gesucht \( \overline{TD}=h \)

Hilfsstrecken \( \overline{BT}\) sei \( x \)

Es gilt

\[ \frac{h}{x}= tan( \beta) \]

\[ \frac{h}{d+x}=tan( \alpha ) \]

Einsetzen und auflösen solltest Du hinbekommen. Sonst nachfragen.

Aufgabe 8 Berg

Ist quasi das gleiche Problem nur gedreht. Für die Skizze gilt das gleiche wie oben.

~draw~ polygon(1|5 1|3 5|-3);punkt(1|5 "A");punkt(1|3 "B");punkt(5|-3 "D");punkt(1|-3 "T");kreissektor(5|-3 2 123 180);kreissektor(5|-3 1 117 180);rechteck(1|-3 4 0);rechteck(1|-3 0 8);zoom(6) ~draw~

gegeben \( \alpha , \beta\) und  \( \overline{AB} \) sei \( d \) (Sendemasthöhe)

gesucht \( \overline{BT}=x \)

Hilfsstrecken \( \overline{TD}\) sei \( h \)

Die Formeln sind ähnlich wie oben, nur hat man jetzt den Winkel aus der jeweils anderen Ecke des Dreiecks, dadurch sind die Katheten getauscht. Auch sind die Winkel vertauscht zu vorher angegeben.

\[ \frac{x}{h}= tan( \alpha) \]

\[ \frac{d+x}{h}=tan( \beta ) \]

Einsetzen und auflösen, jetzt natürlich nach x.

Aufgabe 9

Hier wird mit dem Cosinussatz gelöst.

Skizze:

~draw~ polygon(0|0 0.4|4 2|-1.6);kreissektor(0|0 2 85 90);kreissektor(0|0 1 -38 90);vektor(0|0 0.4|4);vektor(0|0 2|-1.6);zoom(5) ~draw~

Die beiden Strecken kannst Du anhand der Geschwindigkeiten über die Zeit, die die Schiffe schon gefahren sind, errechnen. Der Winkel ist natürlich die Differenz der beiden Kurswinkel, da beide kleiner als 180 Grad sind.

Einfach in die Formel für den Cosinussatz einsetzen und ausrechnen. Du hast ja die beiden Katheten, die den Winkel einschliessen, gegeben.

Gruß

Comments

Habe ich da was falsch gemacht ? Ich hatte dein Weg irgendwie nicht gecheckt :-/ (würde ich aber gerne).

 Es ist so verwirrend wenn jeder immer andere Buchstaben benutzt ^^ vor allem wenn ich mir so schwer tu solche Beispiele zu visualisieren.

Bei solchen Beispielen, ich werde auf das Ergebnis immer nur vom Punkt B kommen oder könnte ich es auch durch dem rechten allgemeinen Dreieck ausrechnen? Mensch ich habe so viel Fragen :D