Ermittle die Maße eines Rechtecks, das bei einem Umfang von 12 cm den größten Flächeninhalt hat.

Question

Thema: Binomische Formeln, Quadratische Ergänzung, "Extremwertaufgaben"

Keine Weiteren Angaben. Klasse 11. Bitte Helfen :-(

Answer 1

Morgen!

Nebenbedingung: 2a+2b=12

Haubtbedingung A=a*b

Forme die Nebenbedingung nach einer Variable um und setze diese in die Hauptbedingung. Die enstandene Funktion leitest du ab und setzt sie gleich 0. Du bestimmt also das Maximum

Comments

A=a*(6-a)
 =6a-a^2
 =-a^2+6a
 =-1((a^2-6a+9)-9)
 =-1(a-3)^2+9
 (3l9) D.h. 3 ist die seitenlänge und 9 der Flächeninhalt
ist das Korrekt? :o

---

Ja das stimmt.

---

<3 aber warum? :o ich findde die logik nicht :'(

---

Was meinst du mit der Logik? Du hast es doch richtig ausgerechnet!

---

Ich weiß nicht. Ich hätte es halt nicht ohne Hilfe geschafft & verstehe nicht, wie man auf diesen Lösungsweg kommt. :(

---

Wo hast du denn den Lösungsmöglichkeiten her, den du aufgeschrieben hast, ist der nicht von dir?

---

@Fragesteller
Ich weiß nicht. Ich hätte es halt nicht ohne Hilfe geschafft & verstehe nicht,
wie man auf diesen Lösungsweg kommt. :(

Nebenbedingung: 2a+2b=12
b = 6 -a

Haubtbedingung A=a*b
A = a * ( 6 - a )
A = - a^2 + 6 a

Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel
Gesucht wird der Extremwert.
Dies ist der Scheitelpunkt.

Du hast mit
A  =-1((a²-6a+9)-9)
A = (a-3)² + 9
in die Scheitelpunktform gebracht. Dann ist der Scheitelpunkt direkt
ablesbar bzw. es ist

a = 3
2a+2b=12
b = 3

Eine andere Variante zur Berechnung wäre mit Hilfe der Differentialrechnung
A = - a^2 + 6 a
A ´( a ) = -2 * a + 6
Extremwert
- 2 * a + 6  = 0
a = 3
2a+2b=12
b = 3

Answer 2

In der 11. Klasse weiß man natürlich, dass das Quadrat die flächenmaximale Form ist, um einen Viereckumfang anzuordnen. Nicht nur weil logo, sondern weil x^2 (Fläche Quadrat) > (x+1)(x-1) (=x^2 -1) (Fläche Rechteck). Darum kommst du ohne Maximalwertbestimmung auf Seitenlänge 3 (12 : 4 denn ein Quadrat hat vier Seiten).

Comments

Hallo Gast gc2011,

In der Aufgabenstellung steht aber "ermittle" und nicht "wisse halt was raus kommt"!

---

Darum habe ich auch den Beweis mitgeliefert, damit man nicht "wissen halt".

---

@Koffi: Die Idee von Gast gc2011 ist schon richtig, auch wenn er es ungeschickt hingeschrieben hat.

Wenn man  die Quadratseite x nennt, hat jedes "echte" Rechteck mit gleichem Umfang die Seitenlängen x+a und x-a mit  0<a<x.

Wegen  A_R = (x+a) • (x-a) = x² - a² < x² = A_Q  hat das Quadrat die größte Fläche.

Das ist durchaus ein Beweis.

@Gast gc2011:

> Darum kommst du ohne Maximalwertbestimmung .....

Das ist natürlich ebenfalls eine "Maximalwertbestimmung".

---

Ist mir klar. Ich glaube halt, das hier das Vorgehen in einer optimierungsaufgabe geübt werden sollte.

---

Das glaube ich auch. Aber der Schüler kommt ja nicht mit, wie seine Reaktion auf die andere Antwort zeigt. Es reicht, die Frage zu beantworten. Man muss nicht nach des Lehrers Pfeife tanzen. Es soll da mal einen lästigen Schüler namens Carl Friedrich gegeben haben, den wollte der Lehrer ruhig stellen mit der Aufgabe, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren...