v=(v1, v2, v3, v4), w=(w1, w2, w3, w4) , <v,w> := 3v1w1 + 3v1w2 + 4v3w4 + 4v4w3
Zeige s:ℝ^4 x ℝ^4, (v,w) ↦ <v,w> ist eine symmetrische Bilinearform
Beweis: für die Bilinearität muss ich die Additivität und die Homogenität in beiden Argumenten zeigen. Also habe ich:
<v+v' ,w> = <v,w> + <v',w> = 3v1w1 + 3v1w2 + 4v3w4 + 4v4w3 + 3v'1w1 + 3v'1w2 + 4v'3w4 + 4v'4w3
<v, w+w'> = <v,w> + <v,w'> = 3v1w1 + 3v1w2 + 4v3w4 + 4v4w3 + 3v1w'1 + 3v1w'2 + 4v3w'4 + 4v4w'3
<λv, w> = λ (3v1w1 + 3v1w2 + 4v3w4 + 4v4w3)
<v, λw> = (3v1w1 + 3v1w2 + 4v3w4 + 4v4w3) λ
bezweifle ich ehrlich gesagt stark, dass das richtig ist.
für Symmetrie muss ich zeigen: s(v,w) = s(w,v) bzw. <v,w> = <w,v> . Bei der Symmetrie steh ich irgendwie auf dem Schlauch, keine Ahnung wie ich das machen soll. Meiner Meinung nach ändert sich da nicht viel, würde es also reichen "trivial" hinzuschreiben ?
Danke schon mal für die Hilfe.
