Aufgabe:
Für zwei Vektoren \( \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{2} \) definieren wir das innere Produkt (Skalarprodukt) über deren Darstellungen \( \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right), \mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) \) bezüglich der Standardbasis \( \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2} \) als
\( \langle\vec{x}, \vec{y}\rangle=\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2} \)
Ziel von Aufgabe 3 c) im letzten Übungsblatt war es, zu argumentieren, dass Rotationen \( \operatorname{im} \mathbb{R}^{2} \) lineare Abbildungen sind. Unter dieser Voraussetzungen ist es möglich Rotationen \( R_{\phi}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) als Matrizen zu beschreiben. Matrixdarstellungen von Rotationen sind sehr hilfreich, um fundamentale Eigenschaften von Rotationen zu bestimmen.
a) (3 P) Finden sie eine Matrixdarstellung \( \mathbf{R}_{\phi} \) von \( R_{\phi} \) der linearen Abbildung, welche jeden Vektor gegen den Uhrzeigersinn um einen Winkel \( \phi \in[0,2 \pi[ \) dreht (siehe Skizze 1) - bezüglich der Standardbasis \( \mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0\end{array}\right), \mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right) \).
Bestimmen sie dazu die Bilder von \( \mathbf{e}_{1} \) und \( \mathbf{e}_{2} \) unter der Rotation.
b) (4P) Zeigen sie, dass Rotationen das innere Produkt (1) erhalten:
\( \left\langle R_{\phi} \vec{x}, R_{\phi} \vec{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{R}_{\phi} \mathbf{x}, \mathbf{R}_{\phi} \mathbf{y}\right\rangle \stackrel{!}{=}\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\langle\vec{x}, \vec{y}\rangle \quad \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{2}, \forall \phi \in[0,2 \pi[ \)
Folgern sie daraus, dass Rotationen die Länge \( |\vec{x}|=\sqrt{\langle\vec{x}, \vec{x}\rangle} \) eines jeden Vektors \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \) ebenfalls erhalten.
c) (4P) Verifizieren sie, dass folgende Matrixidentität für zwei beliebige Rotationsmatrizen \( \mathbf{R}_{\phi}, \mathbf{R}_{\theta} \) gilt:
\( \mathbf{R}_{\phi} \mathbf{R}_{\theta}=\mathbf{R}_{\phi+\theta}=\mathbf{R}_{\theta} \mathbf{R}_{\phi} \)
Interpretieren sie diese Identität geometrisch. Was sagt dieses Resultat über den Spezialfall \( \theta=-\phi \) aus? Hinweis: Benutzen sie folgende trigonometrische Identitäten:
\( \begin{array}{l} \sin (\phi+\theta)=\sin (\phi) \cos (\theta)+\cos (\phi) \sin (\theta), \\ \cos (\phi+\theta)=\cos (\phi) \cos (\theta)-\sin (\phi) \sin (\theta) . \end{array} \)
Problem/Ansatz:
zu a)
Ist es richtig, das ich hier nur eine Matrix angeben muss?
Falls ja, wäre dann diese Matrix?
$$ \begin{pmatrix} cos\phi & -sin\varphi \\ sin\varphi & cos\phi \end{pmatrix}$$
zu b) + c)
hier weiß ich leider keinen Ansatz und wäre dankbar für Tipps.
