Den Zwischenwertsatz verwenden

Question

Zeigen sie, dass es Werte c gibt,  für die f (c) gleich pi ist.

f (x)= x^3-8x+10

Ich darf den Zwischenwertsatz verwenden, die Übung gehört zum Themenbereich "Stetigkeit".

Ich habe umgestellt: 0= f (x)-pi und dann Probewerte eingesetzt. Einmal f (-2)=0,86 und f (-2.1)=-0.30

Da die Funktion stetig ist, müsste dir Funkion, aufgrund des Zwischenwertsatzes, jeden möglichen y-Wert annehmen. Zwischen [-2,2.1] wechselt das Vorzeichen,  somit muss es auch eine Lösung für dir obige Gleichung. Hier meine Frage, ist es so angemessen begründet? Und, könnte ich auch damit argumentieren,  dass f (-1,5)= 4,98 ist und f (2)=0,86, dann müsste doch die Funktion zwischen diesen Werten ebenfalls den Wert pi annehmen, für ein c wegen des Zwischenwertsatzes oder?

Comments

Hier einmal der Graph

~plot~ x^3 - 8 * x + 10 - pi ~plot~

Ich komme aber nicht auf die Stellen für einen Vorzeichenwechsel wie du.

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Zeigen sie, dass es Werte c gibt,  für die f (c) gleich pi ist. 

f (x)= x³-8x+10 oder

x³-8x+10 - PI = 0

Wenn ich x gegen - unendlich gehe lasse geht der Funktionswert auch gegen -∞
Wenn ich x gegen + unendlich gehe lasse geht der Funktionswert auch gegen +∞

Dazwischen muß er also irgendwann einmal 0 sein.

Das dürfte als Beantwortung der Frage doch genügen.
Eine Berechnung der x - Stelle wird nicht gefordert.

Answer 1

im grunde bist du schon auf dem richtigen Weg.

Man betrachtet bspw. \(h(x) := f(x) - \pi \) in einem Intervall \( [a,b]\), in dem gilt \( h(a)<0\) und \(h(b) > 0\). Dann geht aus dem ZWS hervor, dass ein \(c \in [a,b] \) existiert mit \( h(x) = 0\).

Das hast du ja auch fast schon richtig gemacht, allerdings wie oben schon kommentiert wurde, hast du falsche Intervallgrenzen genommen (deine Funktionswerte stimmen jeweils nicht).

Gruß